Cho tam giác ABC, A1, B1, C1 là chân các đường cao. Chứng minh rằng nếu vecto AA1+ vecto BB1 + vecto CC1 = 0 thì  tam giác ABC đều

Bài 1: Cho a,b,c $\geq$ 0 . Tìm GTNN của S=$\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}$

Bài 2:  Cho a,b,c $\geq$ 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 1$ . Tìm GTNN của S=$a+b+c+\frac{1}{abc}$

Chứng minh 8n+1 và 21n+1 là số chính phương, với n>1 là số tự nhiên thì  8n+3 không là nguyên tố

Xem lại đề ra (phần màu đỏ) thấy vô lí

rồi bạn

Bài 1: TÌm số N có 3 chữ số thỏa mãn trung bình cộng của tất cả các khác nhau nhận được bằng cách đổi chỗ các chữ số của N thì bằng chính số N đó
Bài 2: Cho 2 số thực x,y sao cho 
x+y, $x^{2}+y^{2}, x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên.
Chừng minh $x^{3} +y^{3}$ là số nguyên 

Câu 1: Giải phương trình nghiệm:
a. $\left ( x^{2} +y \right )\left ( x+y^{2} \right )= \left ( x-y \right )^{3}$
b. $4y^{2}= 2+ \sqrt{199-x^{2}-2x}$
c. $xy + yz +xz = xyz +2$
Câu 2: Tìm nghiệm phương trình:
$2x +y^{2}-2x^{3}y = 320$
Câu 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
a. $5\left ( x +y +z+t \right ) +10= 2xyzt$
b. $xyz= 4(x+y+z))$
Câu 4: Tìm x,y thỏa 
a. $x^{2} +2y^{2} +3xy +3x +5y = 15$
b. $y\left ( x-1 \right )= x^{2} +2$
c. $9x^{2} - 10y^{2} -9xy +3x -5y= 9$

Cho x,y thỏa $x^{2} + y^{2}= xy-x+2y$ . Chứng minh rằng $\frac{-2\sqrt{3}}{3}\leqslant x\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Bài 1
Cho 3 điểm cố định A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O) đi qua B và C (O không thuộc BC). Qua A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến đường tròn (O) (E và F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là trung điểm của đoạn thẳng EF.
1. Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
2. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E’(khác F). Chứng minh tứ giác BCE’E là hình thang.
3. Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
Bài 2
Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm G tùy ý (G khác A và B). Vẽ GH vuông góc với AB. Trêm đoạn HG lấy một điểm E ( E khác H và G). Các tia AE và BE cắt nửa (O) tại C và D. Gọi F là giao điểm hai tia BC và AD. Chứng minh minh rằng E là trung điểm GH khi và chỉ khi G là trung điểm FH.
 

Bài 1: Từ điểm D nằm ngoài đường trong (O) kẻ 2 tiếp  tuyến DA, DB (A, B là 2 tiếp điểm). Vẽ cát tuyến DEC với E nằm giữa D và C. OD  cắt AB tại  M, AB cắt EC tại N. Chứng minh rằng:
a> Tia MA là phân giác EMC.
b>$MB^{2}.DC= MC^{2}.DE$
Bài 2: Cho đường tròn (O;R), dựng hai đường kính AE và BF. Trên cung nhỏ EF lấy điểm C. Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi Q là giao điểm AE và CB. Tính diện tích tứ giác APQB theo R.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, gọi H là trung điểm BC. Đường tròn (O;R) đi qua A, tiếp xúc với BC tại B, cắt AC, AH lần lượt tại D và E. Giả sử D là trung điểm AC. TÍnh độ dài AE và AD theo R

a. Bạn xem lại đề xem có thiếu ẩn x ko :v

b. $PT\Leftrightarrow \frac{1}{10x^2-11x+3}=\frac{7x-4}{10x^2-11x+3}+10x^2-11x+3-(7x-4)$

Đặt $(10x^2-11x+3,7x-4)=(a,b)$ thì $PT \Leftrightarrow \frac{1}{a}=\frac{b}{a}+a-b \Rightarrow 1=b+a^2-ab \Leftrightarrow (a-b+1)(a-1)=0$

Cái này giải ko khó

mình sửa lại rồi đó bạn , thanks nha

Giải phương trình
a. $\frac{3x^{2}+ 2x -2 }{6x^{2} - 11x -4} + 9x^{2} + \frac{4}{x^{2}} = 16$

b. $\frac{1}{10x^{2} - 11x +3} = \frac{1}{2x-1} + \frac{1}{5x -3} + 10x^{2} -18x+7$

Bài 1: Chứng minh  $\left ( n^{4} -1 \right )\left ( n^{4} + 15n^{2} +1 \right ) \vdots 35$ với n là số tự nhiên  không chia hết 35
Bài 2: Chứng minh $n^{5} - 123n^{3} - 116n$ không chia hết 120

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I di động trên cung BC không chứa điểm A ( I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O), với H là trực tâm. Gọi N và M lần lượt là hình chiếu của H trên các đường phân giác trong và ngoài của góc BAC.

a. Chứng minh rằng MN đi qua trung điểm của BC.
b. Gọi D là điểm bất kì sao cho hai đường chéo của tứ giác ABCD cắt nhau tại điểm I thỏa mãn điều kiện $S_{ABI} = S_{CDI}$ và $S_{ABCD} \leq 4S_{ABI}$ . Cho biết AB=$\sqrt{7}$ , chứng minh rằng AB + CD $> 2\sqrt{5}$

Bài 1: Chứng minh $\left ( 2^{2} \right )^{2n} + 10 \vdots 13$
Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của:
a. $\left ( 2^{6} \right )^{2001}$
b. $625^{19} + 376^{99}$

Bài 3: Chứng minh $4^{2n} - 3^{2n} - 7 \vdots 168$
Bài 4: Tìm số n nguyên dương sao cho:
$\left ( n +1 \right )^{n} - 1 \vdots n^{2}$
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho: $5^{n} + n^{5} \vdots 13$
Bài 6: Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn $a^{3} + b^{3} + c^{3} \vdots 9$
CHứng minh abc $\vdots 3$

Tìm $x$ biết:

a> $x^{3} +2013\left ( 2014 - 2013x^{3} \right )^{3}= 2014$

b> $x^{4} - 4x^{3} - 2x^{2} + 12x + 8 = 0$

c> $2\left ( x^{6}-1 \right )= 2\left ( x^{2}-1 \right )^{2} - 2\left ( x^{4} + x^{2} +1 \right )^{2}$

d> $\left ( 2x + 2013 \right )^{3} +\left ( 2x +2014\right )^{3}= \left ( 4x + 4027 \right )^{3}$

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H là trực tâm tam giác đó. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa A  (M không trùng B,C) Gọi N,P lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB và AC.

Bài 1: Cho hình vuông OABC và M bất kì trên AB đường thẳng vuông góc với OM kẻ từ O cắt BC ở N. Dựng hình chữ nhật OMPN.

a. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
b. Tìm tập hợp điểm thứ 4 P của hình chữ nhật OMPN.

Bài 2: Cho $\angle xOy$ = 1v. Điểm A di động trên Ox, B di động trên Oy sao cho AB=l. Tim tập hợp trung điểm I của AB

Rút gọn $A= \sqrt{12\sqrt[3]{2}-15} + 2\sqrt{3\sqrt[3]{4}-4}$

câu 3 đề là gì thế

>= a + b +c nữa bạn

Bài 1: Cho $1>a,b,c>$ 0. và ab + bc +ca = 1
Tìm giá trị  nhỏ nhất của $M = \frac{a^{2}\left ( 1-2b \right )}{b} + \frac{b^{2}(1-2c)}{c} + \frac{c^{2}(1-2a)}{a}$

Bài 2: Cho x,y,z $>$ 0. thỏa mãn $\frac{x + y\sqrt{2017}}{y + z\sqrt{2017}}\epsilon Q và M= x^{2} + y^{2} + z^{2} \epsilon P.$ . Tính M

Bài 3 CHo a,b,c >0

Chứng minh: $\frac{a^{4}}{b^{2}c} + \frac{b^{4}}{c^{2}a} + \frac{c^{4}}{a^{2}c}$ $\geq a +b +v$

Chứng minh bất đẳng thức :

P=$\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+y^{2}+z^{2}}$ + $\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc} - \frac{a^{2} + b^{2} +c^{2}}{ab +bc +ac}\right )$ $\geq 4$ với a, b , c >0

Bài 1: Cho 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất:

P=$\frac{xy + yz + xz}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + x^{2} + y^{2} +z^{2}$ 

Bài 2: Cho 2 số dương $x, y$ thỏa mãn $x+y+1=3xy$.Tìm giá trị lớn nhất:
 

P=$\frac{3x}{y\left ( x+1 \right )} + \frac{3y}{x\left ( y +1 \right )} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}$

Cho tam giác cân ABC (AB=AC), trên BC lấy D sao cho BD=2DC, trên AD lấy P thõa mãn góc BPD bằng góc BAC. CHứng minh góc DPC bằng 1/2 góc BAC

1/ Cho hình bình hành ABCD có góc A lớn hơn 90 độ. M là trung điểm BC, đường thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N, gọi H là hình chiếu của C trên AB. Chứng minh tứ giác ADNH là tứ giác nội tiếp.

2/ Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại I. Từ A kẻ các đường vuông góc với BC, CD, DB thứ tự tại H, E, K. Chứng minh H, I, E, K cùng nằm trên đường tròn.