Cho $n$ số thực $a_1,a_2,...,a_n$ sao cho $|a_i|\leq 1, i=\overline{1,n}$ và $a_1+a_2+...+a_n=0$. Chứng minh tồn tại $k \in \left \{ 1,2,...,n \right \}$ sao cho: $|a_1+2a_2+3a_3+...+ka_k|\leq \frac{2k+1}{4}$.

$k \in \left \{ 1,2,...,n \right \}$

Cho $0<a,b,c<1$. Chứng minh: $(\frac{a}{b})^2+(\frac{b}{c})^2+(\frac{c}{a})^2+8abc\geq 4$

Xét hàm số $P:R\rightarrow R$ thỏa: Nếu $Q(x)$ là đa thức với hệ số thực, có bậc lớn hơn hoặc bằng $2$ thì $P(Q(x))$ cũng là một đa thức. Chứng minh $P(x)$ là một đa thức.

Tìm tất cả các đa thức khác không $P(x)$ thỏa đồng nhất thức: $P(x^2)\equiv [P(x)]^2, x\in R$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

$\Rightarrow a^2+bc\leqslant a^2+ca+\frac{c^2}{4}\Rightarrow \sqrt{a^2+bc}\leqslant a+\frac{c}{2}$

Ta cần chứng minh: $\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leqslant \frac{a+3b+2c}{2}$

hay bất đẳng thức mạnh hơn là: $2\sqrt{2(b^2+c^2+ab+ca)}\leqslant a+3b+2c\Leftrightarrow a^2-(2b+4c)a+(b^2-4c^2+12bc)\geqslant 0\Leftrightarrow (b+2c-a)^2+8c(b-c)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị

Bạn có kinh nghiệm hay tài liệu nào để xử lý các bất đẳng thức hoán vị chứa căn hay là các dạng có điểm rơi một biến bằng $0$ hai biến còn lại bằng nhau không?

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leq \frac{3(a+b+c)}{2}$.

Nếu mình gọi giao của $AB,CD$ là $F$ thì chứng minh thêm $OP,EF$ vuông góc như thế nào vậy bạn? Với lại bạn có tài liệu nào nói về ứng dụng của góc định hướng thay cho góc hình học không?

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $O$ có $AD,BC$ cắt nhau tại $E$ và $AC,BD$ cắt nhau tại $P$. Gọi $M,N$ là trung điểm $AC,BD$. Gọi $I$ là tâm ngoại tiếp tam giác $EMN$. Chứng minh $OP$ song song $EI$.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và đường thẳng $d$ song song $BC$. Điểm $I$ di động trên $d$. $BI$ cắt $AC$ tại $M$ và $CI$ cắt $AB$ tại $N$. Tìm vị trí của $I$ để $BN.CM$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho góc $\widehat{xOy}$, $M$ là một điểm cố định trên phân giác $OT$. Đường thẳng $d$ qua $M$ cắt $Ox,Oy$ tại $P,Q$. Tìm vị trí của $d$ để $\frac{1}{OP.OQ}$ đạt giá trị lớn nhất.

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3+63x=y^3$.

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$. $AC$ cắt $(O)$ tại $E,F$. $H$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$. Chứng minh $\widehat{AHE}=\widehat{CHF}$.

Xét x = 0 thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix}y^2+z^2=\frac{1}{3} & \\ y^2z^2=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...$ (Bạn tự giải, tương tự với y,z ta có các bộ hoán vị)

Xét $x+y+z=0$ thì có 2 trong 3 số $x,y,z$ bằng 0 ta tìm được số còn lại

Xét $x+y+z$ khác 0 và $x,y,z$ khác 0 

$\Rightarrow (x+y+z)^2=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{xyz(x+y+z)}{xyz(x+y+z)}=1=3(x^2+y^2+z^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ hoặc $(x,y,z)=(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3},\frac{-1}{3})$

Theo mình biết thì dạng hệ phương trình ba biến $x,y,z$ xử lý bằng bất đẳng thức như này xuất hiện khá nhiều. Bạn có tổng hợp lại vài bài nào không cho mình xin với!

Tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$  có $AD,BE,CF$  là các đường cao với trực tâm $H$ và $M$  là trung điểm $BC$  . Gọi  $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AM$  . Giả sử đường thẳng $EK$  cắt các đường thẳng $AB,BC$   lần lượt tại $P,X$; đường thẳng $FK$ cắt các đường thẳng $AC,BC$  lần lượt tại $Q,Y$ .

 1) Chứng minh rằng $P,M,Q$   thẳng hàng.

 2) Các đường thẳng  $AX,AY$ cắt $O$  tại điểm thứ hai là $R,S$ . Tiếp tuyến của $(O)$ tại $C,R$  cắt nhau ở $G$ và tiếp tuyến tại $B,S$  cắt nhau ở $T$. Chứng minh $TG,AM$  cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3(x^2+y^2+z^2)=1 & \\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=xyz(x+y+z)^3 & \end{matrix}\right.$

Mình có đọc tài liệu về định lí Brianchon của Thầy Nguyễn Văn Linh. Trong đó có vài bài Thầy dùng định lí cho lục giác ngoại tiếp suy biến. Mình chưa hình dung được thế nào là lục giác ngoại tiếp suy biến, mong mọi người giải thích thêm dùm mình với!

https://nguyenvanlin...hon-theorem.pdf

Nếu $OA$ vuông góc $OD$ thì $O(AB,CD)=$$\frac{cot(\vec{OC},\vec{OA})}{cot(\vec{OC},\vec{OA})}:\frac{cot(\vec{OD},\vec{OA})}{cot(\vec{OD},\vec{OB})}$. Mọi người cho mình hỏi đẳng thức trên đúng hay sai và chứng minh với!

Cho tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ theo thứ tự tiếp xúc $BC, CA, AB$ tại $D,E,F$. $AD$ cắt $(I)$ tại $X$; $BX,CX$ theo thứ tự cắt lại $(I)$ tại $Y, Z$; $AY, AZ$ theo thứ tự cắt $(I)$ tại $R, S$. Chứng minh $AD, ES, FR$ đồng quy.

Tìm $a,n$ nguyên dương để $a^{n^2+2n-1}-99$ là số chính phương.

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(I)$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh $AC,BD,MP,NQ$ đồng quy. (Nếu được thì mong các bạn giải bằng cách không dùng hàng điểm).

Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.

Thay $y=0$ ta có $xf(x)=f^2(x),\forall x,y\in\mathbb R$.

Do đó giả thiết được viết lại thành $xf(x+y)+yf(y-x)=xf(x)+yf(y),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)

Thay $x$ bởi $y$ vào (1) ta có $xf(2x)=2xf(x)\Rightarrow 2f(x)=f(2x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $y$ bởi $2x$ vào (1) ta có $xf(3x)+2xf(x)=xf(x)+2xf(2x)\Rightarrow f(3x)=3f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $x$ bởi $2y$ vào (1) ta có $2yf(3y)+yf(-y)=2yf(2y)+yf(y)\Rightarrow f(-y)=f(y),\forall y\in\mathbb R$.

Từ đó $f$ là hàm lẻ. Hoán đổi vị trí của $x,y$ trong (1) ta có $yf(x+y)+xf(x-y)=xf(x+y)+yf(y-x),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Rightarrow (x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y),\forall x,y\in\mathbb R$. (2)

Thay $x$ bởi $\frac{x+1}{2}$, $y$ bởi $\frac{x-1}{2}$ vào (2) ta có $f(x)=xf(1),\forall x\in\mathbb R$.

Thay lại ta thấy $a=0$ hoặc $a=1$.

Vậy $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$; $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$.

Bạn có thể cho mình hỏi phần chứng minh hàm lẻ là để chi á bạn?

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathbb{R}$

Cho điểm $M$ nằm trong mặt phẳng tam giác $ABC$ và các số thực $a,b,c$ (Không phải độ dài các cạnh của tam giác $ABC$) thỏa $a+b+c<0$. Tìm GTLN của: $T=a.MA^2+b.MB^2+c.MC^2$ (Dùng phương pháp vectơ)

Trong lời giải này ta giả sử $T$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$.

Ta sẽ chứng minh $T\in GH$.

Gọi $J$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ và $(O)$.

Ta có kết quả quen thuộc là $\frac{TF}{TE}=\frac{BF}{CE}$.

$\Delta JFB\sim\Delta JEC\Rightarrow \frac{JF}{JE}=\frac{FB}{EC}=\frac{TF}{TE}$.

Do đó $JT$ là phân giác của $\widehat{FJE}$.

Mặt khác $A$ là điểm chính giữa cung $EF$ của $(AEF)$ nên $JA$ là phân giác ngoài của $\widehat{FJE}$.

Từ đó $JT\perp JA$ nên $J\in (AMT)$.

$AJ$ cắt $EF$ tại $K$. Dễ thấy $(EF,TK)=-1$.

Ta thấy $K$ là tâm đẳng phương của $(AEF),(O),(A'EF)$ nên $K,A',G$ thẳng hàng.

Vì $\widehat{AGK}=\widehat{AMK}=90^o$ nên $A,M,G,K$ đồng viên.

Do $(EF,TK)=-1$, theo hệ thức Maclaurin ta có $TM.TK=TE.TF$.

Suy ra $T$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMG)$ và $(A'EF)$. Vậy $T\in (GH)$. (đpcm)

Làm sao để có thể tư duy ra các đường phụ như vậy vậy bạn? Ý mình nói là nếu vẽ hình ra giấy chứ không bằng mấy có vẻ rất khó để nghĩ ra các yếu tố phụ đó

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$, nội tiếp $(O)$. $A'$ đối xứng $A$ qua $O$. $(A'EF)$ cắt $(O)$ tại $G$ và cắt $(AMG)$ tại $H$ với $M$ là trung điểm $EF$. Biết $GH$ cắt $EF$ tại $T$. Chứng minh $DT$ vuông góc $EF$.