Pham Le Yen Nhi nội dung
Có 96 mục bởi Pham Le Yen Nhi (Tìm giới hạn từ 29-04-2020)
#381344 Chứng minh $\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 28-12-2012 - 21:03 trong Đại số
Gọi d là ước chung của $n^{3}+2n$ và $n^{4}+3n^{2}+1$
Ta có:
$n^{3}+2n \vdots d\Rightarrow n\left ( n^{3} +2n\right )\vdots d \Rightarrow n^{4}+2n^{2}\vdots d \left ( 1 \right )$
Ta có:
$n^{4}+3n^{2}+1-n^{4}-2n^{2} \vdots d \Rightarrow n^{2}+1\vdots d
\Rightarrow \left ( n^{2}+1 \right )^{2}\vdots d
\Rightarrow n^{4}+2n^{2}+1\vdots d$$\left ( 2\right )$
Từ$\left ( 1\right )$ và $\left ( 2\right )$
$\Rightarrow \left ( n^{4}+2n^{2}+1 \right )-\left ( n^{4}+2n \right )\vdots d \Rightarrow 1\vdots d \Rightarrow d=\pm 1$
Vậy $\frac{n^{3}+2n}{n^{4}+2n+1}$ là phân thức tối giản với mọi $n \epsilon \mathbb {N}$
Bài này trong NC và phát triển toán 8 (còn 1 cách giải nữa)
#381562 Chứng minh $\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 29-12-2012 - 14:23 trong Đại số
Ta có:
$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$
$\Rightarrow \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{x^{x}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0$$
\Rightarrow \left ( \frac{x^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} -\frac{x^{2}}{b^{2}}\right )+\left ( \frac{y^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} \right )+\left ( \frac{z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} \right )=0$
$\Rightarrow x^{2}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{a^{2}} \right )+y^{2}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{b^{2}} \right )+z^{2}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \right )=0$
$\Rightarrow x^{2}\left ( \frac{-b^{2}-c^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right )} \right )+y^{2}\left ( \frac{-a^{2}-c^{2}}{b^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right )} \right )+z^{2}\left ( \frac{-b^{2}-a^{2}}{c^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right )} \right )=0$
mà $a,b,c\neq 0$
nên $x^{2}=y^{2}=z^{2}=0$
Vậy x=y=z=0
#383544 Chứng minh rằng $$a^{2}x+b^{2}x+c^{2}...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 04-01-2013 - 11:21 trong Đại số
Cộng ba đẳng thức đã cho ta có:
$x+y+z=by+cz+ax+cz+ax+by=2(ax+by+cz)$ (1)
Mà $x=by+cz$ nên từ (1) ta có
$x+y+z=2(ax+x)=2x(1+a)\Rightarrow \frac{1}{1+a}=\frac{2x}{x+y+z}$
Tương tự:$\frac{1}{1+b}=\frac{2y}{x+y+z}$;$\frac{1}{1+c}=\frac{2z}{x+y+z}$
Vậy: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2$
#392552 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Phân tích đa thức thành nhân tử
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 02-02-2013 - 19:25 trong Đại số
$\Rightarrow ab+cd=abc^{2}+abd^{2}+cda^{2}+cdb^{2}$$
\Rightarrow ab+cd=ad(bd+ac)+bc(ac+bd)$
$\Rightarrow ab+cd=(ac+bd)(bc+ad)$
mà $ac+bd=0$
Vậy $ab+cd=0$
#393123 $a(1-ax)=4b-2ax$
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 04-02-2013 - 17:59 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$\Leftrightarrow 2ax -a^{2}x=4b-a$
$\Leftrightarrow (2a-a^{2})x=4b-a$
$\Leftrightarrow a(2-a)x=4b-a$
* Với $2a-a^{2}\neq 0$ phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{4b-a}{2a-a^{2}}$
*Với $a=0$ ta có $(1)\Leftrightarrow 0x=4b$
TH1: Với $b=0$ phương trình đúng với mọi $x$
TH2: Với $b\neq 0$ phương trình vô nghiệm
*Với $2-a=0\Leftrightarrow a=2$ ta có
$(1)\Leftrightarrow 0x=4b-2$
$\Leftrightarrow 0x=2(2b-1)$
TH1: Với $b=\frac{1}{2}$ phương trình đúng với mọi $x$
TH2: Với $b\neq \frac{1}{2}$ phương trình vô nghiệm
#419640 Chứng minh rằng
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 20-05-2013 - 06:35 trong Đại số
ta có $x^{2}+7x+22 = (x^{2}+2x)+(5x+10)+12 = (x+2)(x+5)+12$
ta thấy hiệu của $(x+2)$ và $(x+5)$ chia hết cho 3 nên $(x+2)$ và $(x+5)$ cùng chia hết cho 3 hoặc cùng không chia hết cho 3.
TH1: $(x+2)\vdots 3$ và $(x+5)\vdots 3$
$\Rightarrow (x+2)(x+5)\vdots 9$ mà $12$ không chia hết cho 9
$\Rightarrow x^{2}+7x+22$ không chia hết cho 9
TH2: tương tự TH1
Vậy $x^{2}+7x+22$ không chia hết cho 9
#440473 Cho $\bigtriangleup ABC$ , đường cao AH chia cạnh BC thành 2 đ...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 04-08-2013 - 20:25 trong Hình học
Cho $\bigtriangleup ABC$ , đường cao AH chia cạnh BC thành 2 đoạn : Biết BH=1, CH=4. Tính các cạnh và các góc của $\bigtriangleup ABC$
#477578 Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 16-01-2014 - 19:11 trong Hình học
Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có AB = A'B', BC=B'C'. Chứng minh rằng nếu AC < A'C' thì góc B nhỏ hơn góc B'
#479597 $A=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}-\sqrt{16-x^{2}}$
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 28-01-2014 - 11:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta đặt : $\sqrt{x+4}=a$, $\sqrt{4-x}=b$
$\Rightarrow \sqrt{16-x^2}=ab$
Ta tìm max của biểu thức $N = a+b+ab$
Ta có $(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)= 2.8=16 => a+b\leq 4$
và $a^2+b^2 \geq 2ab =>ab \leq \frac{(a^2+b^2)}{2}=\frac{8}{2}=4$
$=> N\leq 4 +4 =8$
Dấu "=" xảy ra khi $x=0$
#479603 $A=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}-\sqrt{16-x^{2}}$
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 28-01-2014 - 11:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đề là dấu trừ nhé bạn?? bạn giải giùm
mình nhìn nhầm đề
#479732 Tính $(a^{25}+b^{^{25}})(b^{3}+c...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 28-01-2014 - 21:46 trong Đại số
dễ thấy $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} <=> (a+b)(b+c)(c+a)=0 <=> a=-b$ hoặc b=-c$ hoặc c=-a$
$\Rightarrow \left ( a^{25}+b^{25} \right )(b^3+c^3)(c^{2000}-a^{2000})=0$
#479963 Chứng minh rằng có thể dựng được một đường tròn đi qua ba điểm, chứa $10...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 30-01-2014 - 01:38 trong Toán rời rạc
Trong $2010$ điểm đã cho, tồn tại 2 điểm A,B sao cho 2008 điểm còn lại nằm cùng phía đối với AB
Vì không có $4$ điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên ta đặt 2008 điểm còn lại lần lượt là $$N_{1}, N_{2},N_{3}....,N_{2008}$$ sao cho $$AN_{1}B> AN_{2}B> AN_{3}B> ....> AN_{2008}B$$
Ta vẽ đường tròn đi qua 3 điểm $$A, B, N_{1001}$$
Khi đó các điểm $N_{1},N_{2},N_{3}....,N_{1000}$ nằm trong đường tròn đã vẽ và 1007 điểm còn lại nằm ngoài đường tròn (đpcm)
#480242 $P=\sqrt{-x^{2}+4x+12}-\sqrt{-x^...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 01-02-2014 - 10:44 trong Đại số
ĐKXĐ :$-1\leq x\leq 3$ (1)
xét hiệu : $(-x^{2}+4x+12)-(-x^{2}+2x+3)=2x+9$
do (1) nên $2x+9 > 0$ do đó $P> 0$
Xét $P^{2}=(x+2)(6-x)+(x+1)(3-x)-2\sqrt{(x+2)(6-x)(x+2)(6-x)}$
$=(x+1)(6-x)+(6-x)+(x+2)(3-x)-(3-x)-2\sqrt{(x+2)(6-x)(x+2)(6-x)}$
$=(x+1)(6-x)+(x+2)(3-x)-2\sqrt{(x+2)(6-x)(x+2)(6-x)}+3$
$=(\sqrt{(x+1)(6-x)}-\sqrt{(x+2)(3-x)})^{2}+3$
Do đó $P^{2}\geq 3 => P\geq \sqrt{3}$ (vì $P\geq 0$)
Vậy min $P=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=0$
#482642 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn O. Gọi M là điểm di động trên cung n...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 11-02-2014 - 23:38 trong Hình học
a)Trên tia MA lấy điểm I sao cho MI=MC
Dễ thấy $\Delta CIM$ đều $\Rightarrow MC=CI$
Xét 2 tam giác $\Delta AIC$$ và \Delta BMC$ có
$IC=MC$
$\angle IAC=\angle MCB$ (vì cùng cộng với $\angle BCI = 60^{\circ}$)
$AC=BC$
Do đó $\Delta AIC$ = $\Delta BMC$
$\Rightarrow AI=BM$
$\Rightarrow$ Đpcm
b) Dễ thấy $$\Delta BAM \sim \Delta DCM$$ (g.g)
nên $\frac{AM}{CM}=\frac{BM}{DM}\Rightarrow AM.DM=CM.BM$
$\Rightarrow \frac{AM}{BM.CM}=\frac{1}{MD}$
Áp dụng kết quả câu (a) ta có đpcm
c) Đặt MA=x, MB=y. Ta có
$AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}=x^{2}+y^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2}-xy)$ (1)
Kẻ $BH$ vuông góc với $AM$
Do $\angle BMH =60^{\circ}$ nên $MH = \frac{y}{2}, BH^{2}=y^{2}-(\frac{y}{2})^{2}=\frac{3y^{2}}{4}$
do đó $AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}=x^{2}+y^{2}-xy$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow MA^{2}+ MB^{2}+MC^{2}=2AB^{2}$ mà $\Delta ABC$ đều
nên $AB=R\sqrt{3}$
$\Rightarrow$ Đpcm
#482647 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn O. Gọi M là điểm di động trên cung n...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 11-02-2014 - 23:59 trong Hình học
BÀI 2
a) Ta có $\angle BAM =\angle ACB$
$\Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta MCA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{MB^{2}}{MA^{2}}=\frac{MB^{2}}{MB.MC}=\frac{MB}{MC}$ (đpcm)
b)
đặt $MA=x$, $MC=y$
Ta có $\frac{MB}{MA}=\frac{MA}{MC}=\frac{AB}{AC}$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y-24}{x}=\frac{5}{7}$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 7x=5y & \\ 5x=7(y-24) & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=35 & \\ y=49& \end{matrix}\right.$
#482842 Tính tổng 3 số nguyên dương x, y, z. Biết x+y+z=xyz.
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 13-02-2014 - 00:17 trong Đại số
1.Do $x,y,z$ có vai trò như nhau nên ta giả sử $0< x\leq y\leq z$
Khi đó ta có $xyz=x+y+z \leq 3z$
$\Rightarrow xy\leq 3$
mà $x,y$ là các số nguyên dương nên $xy \epsilon \left \{ 1;2;3 \right \}$
Ta xét các trường hợp
+) TH1: $xy=1$ $\Rightarrow x=1; y=1 \Rightarrow 2+z=z$, vô lí
+) TH2: $xy=2 \Rightarrow x=1; y=2$ (do $x\leq y$) $\Rightarrow 3+z=2z \Leftrightarrow z=3$
+) TH3: $xy=3 \Rightarrow x=1; y=3 \Rightarrow 4+z=3z\Leftrightarrow z=2$
Nên ta có các cặp số $(x;y;z)$ thỏa mãn đề bài là các hoán vị của $(1;2;3)$
Khi đó $x+y+z=6$
#487003 CMR: trung trực DE đi qua điểm cố định khi M di động
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 15-03-2014 - 19:53 trong Hình học
DE đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì phải
#487038 CMR: trung trực DE đi qua điểm cố định khi M di động
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 15-03-2014 - 20:55 trong Hình học
gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Ta dễ dàng chứng minh được $AE=DC (=MD)$
$OA=OC$
$\angle EAO =\angle OCD$
$\Rightarrow \Delta EAO=\Delta DCO$ (c.g.c)
$\Rightarrow OE=OD$
$\Rightarrow$ $O$ thuộc đường trung trực của $DE$
mà $O$ cố đinh.
nên ta có $O$ là điểm cố định mà trung trực DE đi qua khi M di động
p/s : k biết đúng k nữa
#487224 Chứng minh: $\frac{a}{a+1}+\frac{2b...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 16-03-2014 - 18:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đặt $1+a = x$ $(x > 0)$
$2+b = y$ $(y > 0)$
$3+c = z$ $(z > 0)$
Biến đổi VT :
$\frac{a}{a+1}+\frac{2b}{2+b}+\frac{3c}{3+c}=\frac{x-1}{x}+\frac{2y-4}{y}+\frac{3z-9}{z}=1+2+3 - \left ( \frac{1}{x} +\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right )$
Áp dụng BĐT $BCS$ ta có :
$VT \leq 6 - \frac{(1+2+3)^{2}}{1+a+2+b+3+c}=6-\frac{36}{7}=\frac{6}{7}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{1}{6}, b=\frac{1}{3}, c= \frac{1}{2}$
#487836 Cho $\Delta ABC$, $BD$ và $CE$ lần lượt là...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 19-03-2014 - 20:20 trong Hình học
Cho $\Delta ABC$, $BD$ và $CE$ lần lượt là 2 đường phân giác trong của tam giác tại đỉnh $B$ và $C$. Trên đoạn thẳng $DE$ lấy một điểm M bất kì.Từ $M$ kẻ các đường vuông góc với $BC,CA,BA$ lần lượt tại $I,J,K$. Chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng $MI,MJ,MK$ có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn còn lại.
#488493 1. Cho $\Delta ABC$, $M$ là điểm di động trên cạnh...
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 23-03-2014 - 22:21 trong Hình học
1. Cho $\Delta ABC$, $M$ là điểm di động trên cạnh $BC$. $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB$, $AC$. Xác định vị trí của $M$ để $DE$ có độ dài ngắn nhất.
2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn và có các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ vẽ các đường vuông góc $MA'$,$MB'$,$MC'$,$MD'$ lần lượt đến các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.Chứng minh rằng $A'B'$ +$C'D'$=$A'D'$ +$B'C'$
#488883 Đường trung trực đoạn CD luôn đi qua 1 điểm cố định
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 26-03-2014 - 16:19 trong Hình học
Kẻ đường kính $AOK$ và $AO'H$.Ta có cát tuyến chung $KBH$ cố định.
Gọi $N$ là trung điểm của $CD$.
Đường trung trực của $CD$ đi qua $N$ và cắt $KH$ tại $I$.
Dễ thấy $I$ là trung điểm của $KH$ nên $I$ cố định.
Vậy $I$ là điểm cố định cần tìm.
#488884 Đường trung trực đoạn CD luôn đi qua 1 điểm cố định
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 26-03-2014 - 16:21 trong Hình học
Bài toán: Cho hai đườn tròn $(O)$ và $(O')$ giao nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Qua $A$ kẻ cát tuyến $CAD$ cắt $(O)$ và $(O')$ theo thứ tự tại C và D. Chứng minh rằng: Đường trung trực đoạn CD luôn đi qua 1 điểm cố định
Kẻ đường kính $AOK$ và $AO'H$.Ta có cát tuyến chung $KBH$ cố định.
Gọi $N$ là trung điểm của $CD$.
Đường trung trực của $CD$ đi qua $N$ và cắt $KH$ tại $I$.
Dễ thấy $I$ là trung điểm của $KH$ nên $I$ cố định.
Vậy $I$ là điểm cố định cần tìm.
#489422 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Đăk Lăk năm 2013-2014
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 29-03-2014 - 17:42 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 1.(4 điểm)
a) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là một số nguyên
b)Cho số n nguyên dương tùy ý .Xét ba số tự nhiên là $a=11...1$(có 2n chữ số 1),$b=11...1$(có n+1 chữ số 1) và $c=66...6$(có n chữ số 6).Chứng minh rằng $a+b+c+8$ là một số chính phương
Câu 2.(4 điểm)
a)Cho x,y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2\leq x+y$.Chứng minh rằng $x+y\leq 2$
b)Giải phương trình $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=15$
Câu 3.(4 điểm)
a)Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} (x+y+z)^2=3(xy+yz+xz)\\ x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3^{2014} \end{matrix}\right.$
b)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình $x^3-y^3+2x^2+3x+1=0$
Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
$f(x)=\left | x-1 \right |+2\left | x-2 \right |+3\left | x-3 \right |+4\left | x-4 \right |+5\left | x-5 \right |$
Câu 5.(4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=8cm,AC=6cm.Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với hai cạnh AB,BC lần lượt tại E,F.Tia AO cắt EF tại K.Chứng minh rằng tứ giác KFCO nội tiếp và tính diện tích tam giác OKC
Câu 6.(2 điểm) Cho tam giác ABC đều.Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\widehat{BAM}=15^o$ .Đường thẳng qua điểm C và song song với đường thẳng AB cắt đường thẳng AM tại điểm N.Chứng minh rằng $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{3}{4AB^2}$
#489581 Chứng minh MD=ME
Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 30-03-2014 - 10:32 trong Hình học
Cho tam giác ABC(AB<AC) và các tam giác cân BAD,CAE(BA=BD,CA=CE) sao cho D nằm khác phía với C đối với AB,E nằm khác phía đối với B đối với AC và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh MD=ME
- Diễn đàn Toán học
- → Pham Le Yen Nhi nội dung