Cho dãy đa thức: $\left\{\begin{matrix} P_{0}(x)=0,P_{1}(x)=x & & \\ P_{n}(x)=(P_{n-1}(x))^3+2P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)+2022 & & \end{matrix}\right.$ Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.

Cho trước số thực $k>9$. Xét hệ sau với $a\leq b\leq c\leq d$:

$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d=k+3\\ a^2+b^2+c^2+d^2=k^2+3\\ abcd=k \end{matrix}\right.$

Với $p$ là số nguyên tố dạng $6k+1$. Chứng minh tồn tại $i$ thuộc $\left \{ 1,2,...,p-1 \right \}$ thỏa $i^2+i+1 \vdots p$.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ ,tồn tại đa thức bậc $ n$ có hệ số nguyên $p ( x )$ sao cho $p ( 0 ) , p ( 1 ) , . . . , p ( n )$  là các số nguyên dương đôi một khác nhau,và tất cả chúng đều có dạng $2a^k + 3$

Ta gọi một cách điền "rất đẹp" nếu như đó là cách điền đẹp và có hai ô cuối cùng có số giống nhau.

Thế thì gọi $b_n$ là số cách điền "rất đẹp".

+) Tính $a_{n+1}$: Với mỗi cách điền $n$ ô trước là "đẹp" nhưng không phải "rất đẹp" ta có $2$ cách điền ô thứ $n+1$. Đồng thời với mỗi cách điền $n$ ô trước "không đẹp" ta có duy nhát $1$ cách điền ô thứ $n=1$. Do đó $a_{n+1} = 2a_n - b_n$.

+) Tính $b_{n+1}$: Giả sử ô thứ $n$ và $n+1$ đều là $0$. Thế thì ô thứ $n-1$ là $1$, và số cách điền lúc này chính là số cách điền $n-2$ ô đầu tiên có hai vị trí cuối không cùng bằng $1$, và bằng $a_{n-2} - \frac{b_{n-2}}{2}$.

Suy ra $b_{n+1} = 2a_{n-2} - b_{n-2}$.

Kết hợp lại ta có công thức truy hồi: $\begin{cases} a_{n+1} = 2a_n - b_n \\ b_{n+1} = 2a_{n-2} - b_{n-2}\end{cases}$

$\Rightarrow b_n = 2a_n - a_{n+1},\forall n\geq 1\Rightarrow 2a_{n+1} - a_{n+2} = 2a_{n-2} - 2a_{n-2} + a_{n-1},\forall n\geq 3$

$\Rightarrow a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n-1},\forall n\geq 3$.

Tính được: $a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 6, a_4 = 10$. Do đó ta có $a_{n+3} = 2a_{n+2} - a_n,\forall n\in\mathbb N^*$.

Từ đây dễ dàng tìm được CTTQ của $(a_n)$.

Hoàng có thể chia sẻ cách em học các phân môn không nhỉ cũng như từng tài liệu/ nguồn bài mà em tham khảo

Xét hình chữ nhật $1 \times n$ gồm $n$ ô vuông $1 \times 1$. Mỗi ô điền số $0$ hoặc $1$. Một cách điền "đẹp" nếu như ba ô liên tiếp nhau bất kỳ đều không chứa ba số giống nhau. Với mỗi $n \geq 3$, gọi $a_n$ là số cách điền "đẹp". Tính $a_n$.

Tìm đa thức hệ số nguyên có bậc nhỏ nhất nhận $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ làm nghiệm.

Cho dãy số nguyên dương: $\left\{\begin{matrix} a_{1}>5 & & \\ a_{n+1}=\frac{(a_{n}-4)(a_{n}+5)}{2} & & \end{matrix}\right.$. Tìm tất cả số nguyên tố $p$ sao cho với mọi giá trị $a_{1}>5$ thì luôn tồn tại $n$ để $a_{n}$ chia hết cho $p$.

À đây là đề duyên hải K11 năm nay đúng không ạ? KQ câu b là $$n = p^{q-1}$$ với p, q là các số nguyên tố

Bạn có thể giải chi tiết giúp mình với mình đọc lời giải trên mạng nhưng có lẻ chưa chặt chẽ lắm

Với số nguyên dương $n$, kí hiệu $S(n)$ là tổng các ước nguyên tố phân biệt của $n$ (Ví dụ: $S(1)=0, S(2)=2, S(12)=5, S(45)=8).$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$.

Xét tập hợp các đa thức $P(x)$ hệ số thực, khác $0$ và thỏa: $P(x^2-1)=P(x)P(-x)$ với mọi $x$ thực. Tìm trong tập hợp đó một đa thức có bậc bé nhất nhưng có nghiệm lớn nhất.

Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $D_{n}$ là tập hợp các ước dương của $n$ và $f_{i}(n)$ là số phần tử của tập hợp: $F_{i}(n)=\left \{a \in D_{ n}| a\equiv i (\text{mod} 4)  \right \}, i=1,2$. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho: $2f_{1}(m)-f_{2}(m)=2017$.

Với $n$ là số nguyên dương cho trước, tìm số các từ có độ dài $n$ trên một từ điển có 3 chữ cái ${a,b,c}$ sao cho chữ cái $a$ xuất hiện một số lẻ lần.

Đặt $A=\left \{ 1,2,3,4 \right \}, B= \left \{ 1,2,3,...,n \right \}$. Tìm số các hoán vị của $n$ phần tử trong $B$ sao cho không có ba số hạng liên tiếp của nó mà mỗi số hạng đều nằm trong tập hợp $A$.

Cho dãy $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ sao cho $a_{i} \in \left \{ 0,1,2 \right \}$ và $\left | a_{i}-a_{i+1} \right |\leq 1, \forall i$. Tìm số các dãy $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ thỏa điều kiện đã cho.

Một tập hợp các đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là đẹp nếu các đường thẳng trong tập hợp này phân biệt, không có $3$ đường nào đồng quy và mỗi đường thẳng trong chúng đều có số các giao điểm của nó với tất cả các đường thẳng còn lại là một số lẻ. Tìm số $k$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho với $2018$ đường thẳng phân biệt, không có $3$ đường nào đồng quy, bất kỳ, ta có thể bổ sung thêm $k$ đường thẳng để tạo thành tập hợp đẹp gồm $2018+ k$ đường thẳng.

Cho $S>4$ và $P>S-3$ là các số cố định, Với bộ bốn số thực $(a,b,c,d)$ không nhỏ hơn $1$ sao cho $a+b+c+d=S$ và $abcd=P$, đặt $M=M(a,b,c,d)=max\left \{ a,b,c,d \right \}$. Tìm min $M$.

Cho dãy các số thực dương $(a_{n})$ thỏa hai tính chất: $\left\{\begin{matrix} a_{n+1}\leq a_{n}+a_{n}^2, \forall n \geq1 & & \\ a_{1}+a_{2}+...+a_{n} < M,\forall n \geq1 & & \end{matrix}\right.$ ($M$ là hằng số dương). Tìm lim$(na_{n})$.

Cho $x,y,z>0$ thỏa $(x+y+z)^3=32xyz$. Tìm GTLN, GTNN của $P=\frac{x^4+y^4+z^4}{(x+y+z)^4}$.

Bổ đề. Cho hai số dương $\alpha,\beta$ có tổng bé hơn $1$. Nếu dãy số $(x_n)$ dương thỏa mãn 

$$x_{n+2}\le \alpha x_{n+1}+\beta x_{n},\quad \forall n\ge n_0$$

thì dãy $(x_n)$ hội tụ và $\lim x_n=0$.

 

Quay lại bài toán.

Dễ dàng chứng minh được $0<u_n<1$ với mọi $n$. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 

$$u_{n+2}=\frac{1}{n}u_{n+1}^2+\frac{n-1}{n}\sqrt{u_n}\ge \sqrt[n]{u_{n+1}^2u_n^{\frac{n-1}{2}}}.$$

Đặt $v_n=-\ln(u_n)>0$ thì bất đẳng thức trên tương đương $v_{n+2}\le \frac{2}{n}v_{n+1}+\frac{n-1}{2n}v_n$. Suy ra

$$v_{n+2}<\frac{2}{5}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n,\quad \forall n\ge 5.$$

Áp dụng bổ đề trên ta có $\lim v_n=0$, dẫn tới $\lim u_n=1$.

 

P/s: Một ví dụ và tài liệu tham khảo liên quan tới bổ đề trên có thể xem ở đây

Bạn có thể nói rõ chỗ lấy $ln$ làm sao ra được như vậy được không bạn thì mình chưa học tới $ln$ á bạn. Mình chỉ biết sơ về định nghĩa chứ chưa hiểu sâu cụ thể làm sao lấy $ln$ thì ra được vậy mong bạn giúp mình với

Tìm giá trị lớn nhất của $a$ để $x_{2023}=0$

Cho $n \in \mathbb{N}$ hãy chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho với mọi $m\ge k$ , tồn tại một dãy $m$ số tự nhiên liên tiếp mà chứa đúng $n$ số nguyên tố.