Cho x, y, z $\geq 0$ và $x+y+z=1$. Cm:

A = $\sqrt{x+\frac{(y-z)^{2}}{12}}+\sqrt{y+\frac{(z-x)^{2}}{12}}+\sqrt{z+\frac{(x-y)^{2}}{12}}\leq \sqrt{3}$

Cho a, b, c là các số thực ko âm. Cm:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{10}{(a+b+c)^{2}}$

Cho tam giác ABC có góc A = $60^{\circ}$ và I là tâm đường tròn nội tiếp. Trên các tia BA, CA theo thứ tự lấy cấc điể E, F sao cho BE = CF = BC. Chứng minh 3 điểm I, E, F thẳng hàng

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), H và I thứ tự là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Biết AH = R, tính$\angle A$

Cho x$\geq$x.y+1

               Tìm max của P=$\frac{3.x.y}{x^{2}+y^{2}}$

MOD.Chú ý tiêu đề.

Đây

https://www.google.c....65636070,d.dGc

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(x+y)=4y\\ (x^{2}+1)(x+y-2)=y \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x(2\sqrt{y-1}-x)+y(2\sqrt{x-1}-y)=0\\ x^{3}+y^{3}=16 \end{matrix}\right.$

Bài 1:

Giả sử p,q là các số nguyên dương thỏa mãn:

$\frac{p}{q}$ = 1 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + ..... + $\frac{1}{1335}$

Chứng minh rằng p chia hết cho 2003

 

-----------------------------

Lần sau em nhớ đặt tiêu đề đúng quy định nhé :

http://diendantoanho...i-khong-bị-xoa/

$\frac{p}{q}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1335}-2.(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1334})$

                 $=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1335}-1-\frac{1}{2}-...-\frac{1}{667}=\frac{1}{668}+\frac{1}{669}+...+\frac{1}{1335}$

$\Leftrightarrow \frac{p}{q}=2003.(\frac{1}{1335.668}+\frac{1}{1334.669}+...+\frac{1}{1001.1002})$

Mà 2003 là số nguyên tố => $p\vdots 2003$

Cho a,b,c là các số dương khác nhau đôi một. 

Tìm Max: $P=\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-c)(c-a)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$  với x,y>0; x+y=1

Theo hệ số bất định, giả sử:

$\frac{(t-x)(t-y)}{(t-a)(t-b)(t-c)}=\frac{A}{t-a}+\frac{B}{t-b}+\frac{C}{t-c}$

Khi đó: $(t-x)(t-y)=A(t-b)(t-c)+B(t-a)(t-c)+C(t-a)(t-b)$

Thay t lần lượt bằng a, b, c suy ra:

$A=\frac{(a-x)(a-y)}{(a-b)(a-c)};B=\frac{(b-x)(b-y)}{(b-c)(b-a)};C=\frac{(c-x)(c-y)}{(c-a)(c-b)}$

Suy ra:

$P=\frac{(t-x)(t-y)}{(t-a)(t-b)(t-c)}$

Cho t = 0 thì $P=\frac{xy}{abc}$. Vì $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow P\leq \frac{1}{4abc}$

Vậy Max P = $\frac{1}{4abc}$. Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Giải phương trình:

$(x+\sqrt{2-x^{2}}-2)(2x\sqrt{2-x^{2}}+3)=-2$

Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn hệ:

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=5\\ xy+yz+zx=8 \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$16x^{4}+5=6\sqrt[3]{4x^{3}+x}$

Tính tổng các nghiệm của phương trình $(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+3}-3)...(\sqrt{x+100}-100)=0$

ta có:

$\sqrt{x+n}=n\Rightarrow x=n^{2}-n=(n-1).n$

Thay n lần lượt từ 1 đến 100

=> Tổng các nghiệm P = $0.1+1.2+2.3+...+99.100$

$\Leftrightarrow 3P=1.2.3+2.3.(4-1)+...+99.100.(101-98)=99.100.101=999900$

Cho phương trình:

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-(m+1)(x-\frac{1}{x})+m-3=0$

a. Giải phương trình khi m = 2

b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

Cho a, b, c > 0. Tìm Min:

$S=\frac{c(ab+1)^{2}}{b^{2}(bc+1)}+\frac{a(bc+1)^{2}}{c^{2}(ac+1)}+\frac{b(ac+1)^{2}}{a^{2}(ab+1)}$

Cho $a+b+c=2$ và $ab+bc+ca=1$

Tìm Max và Min của a, b, c

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a+b\geq c$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}$

Chứng minh:

$\sqrt[2014]{a}+\sqrt[2014]{b}-\sqrt[2014]{c}=\sqrt[2014]{a+b-c}$

A =$1!(2-1)+2!(3-1)+3!(4-1)+...+n!(\left [n+1)-1 \right ]$

   =2!-1!+3!-2!+...+(n+1)!-n!

   =$(n+1)!-1$

Cho x, y > 0 và x + y = 4. Tìm Min:

L = $\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}$

Cho các số thực không âm $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ thỏa mãn:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} =1$

Tìm Max Q = $a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{4}+a_{4}a_{5}$

bạn xem lại đề nhé ( x, y, z và a, b, c)

$\frac{a+1}{b^{2}+1}=(a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}\geq (a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

CMTT:

$VT\geq a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}=6-\frac{3+ab+bc+ca}{2}$

Mà theo BĐT Cô si: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$

$\Leftrightarrow VT\geq 6-3=3$ (đpcm)

Áp dụng công thức $r_{a}=\frac{S}{p-a}$ => $r_{a}+r_{b}+r_{c}=\frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=r_a+r_b+r_c=S\left ( \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \right )=S.\left [ \frac{(p-a)(p-b)+(p-b)(p-c)+(p-c)(p-a)}{(p-a)(p-b)(p-c)} \right ]=\frac{p\left ( 3p^{2}-2p(a+b+c)+ab+bc+ca \right )}{S}=\frac{p(3p^{2}-4p^{2}+p^{2}+r^{2}+4Rr)}{S}=\frac{pr(r+4R)}{S}=4R+r$

$\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=\frac{4R+r}{S}=\frac{4R+r}{pr}$

Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn:

$\sqrt[3]{\overline{abcde}}=\overline{ab}$

Tìm cặp số (x, y)  sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn:

$x^{2}+5y^{2}+2y-3xy-3=0$

Cho các số thực không âm a, b, c, d có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:

 A = $\frac{1}{5-abc}+\frac{1}{5-bcd}+\frac{1}{5-cda}+\frac{1}{5-dab}\leq 1$