Pt tương đương với : $y^4(2x^2-5x+2)+y^2+2y=2x^2-5x+1<=>(2x^2-5x+2)(y^4-1)+(y+1)^2=0$

$<=>(2x^2-5x+2)(y^2+1)(y-1)(y+1)+(y+1)^2=0$

$<=>y+1=0=> \forall x$ đều thỏa mãn

hoặc $(2x^2-5x+2)(y^2+1)(y-1)+(y+1)=0$

=>$y+1\vdots y-1 => y\in\{-1;0;2;3\}$

  và $y+1\vdots y^2 +1 => y\in\{-1;0\}$ (Hai trường hợp kia sai)

Bây giờ thay các giá trị của y vào và tự tính nốt nhé

Đặt biểu thức cần tìm min/max là P

*Tìm max P

$P=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=1+\frac{99a+9b}{a+b+c}\leq1+\frac{99a+9b}{a+b}=10+\frac{90a}{a+b}\leq10+\frac{90a}{a}=100$

Dấu = xảy ra với $b=c=0$, $a$ bất kì từ $1->9$

*Tìm min P

$P=1+\frac{99a+9b}{a+b+c}\geq1+\frac{99a+9b)}{a+b+9}=10+\frac{90a-81}{a+b+9}\geq10+\frac{90a-81}{a+18}=100-\frac{1701}{a+18}\geq100-\frac{1701}{19}=\frac{199}{19}$

Dấu = xảy ra với $b=c=9,a=1$

Ba người cùng khởi hành từ A lúc 8 giờ để đến  B(AB dài 8km).Do chỉ có 1 xe đạp nên người thứ nhất trở người thứ 2 đến B với vận tốc 16km/h rồi quay lại đón người thứ 3. Trong lúc đó người thứ 3 đi bộ đến B với vận tốc 3km/h.

a) (ý này các bạn ko cần giải) Hỏi người thứ 3 đến B lúc mấy giờ?Quãng đường phải đi bộ đến B là bao nhiêu?

b)(yêu cầu giải cụ thể) Để đến B chậm nhất lúc 9 giờ(tức là khi người cuối cùng đến B thì chậm nhất là 9h) thì người thứ nhất bỏ người thứ 2 tại 1 điểm nào đó rồi quay lại đón người thứ 3. Người thứ 2 tiếp tục đi bộ cũng với vận tốc 3km/h để đến B.Tìm quãng đường đi bộ của người 2 và người 3?

Sự thật là chưa hiểu rõ cái đề Chắc là tìm thời gian ngắn nhất hở?

Bây giờ lí luận như sau : Do vận tốc của xe đạp lớn hơn đi bộ nên nếu để người đi bộ đến sau thì thời gian sẽ lâu hơn khi để người đi xe đạp đến cùng lúc

Còn nếu người đi xe đạp đến sau thì quãng đường đi xe đạp sẽ lớn hơn quãng đường khi cả 3 người đến cùng lúc

Vậy để 3 người đến cùng lúc sẽ đỡ tốn thời gian nhất. (Cái máy tính quá thốn nên không thể vẽ hình lên được thông cảm )

Điểm mà người 2 bắt đầu đi bộ là P, khi đó người 3 đi đến M. Người 3 bắt đầu lên xe đạp tại N, khi đó người 2 đi bộ đến Q

Do khi nguười 2 đi bộ từ 

Ta sẽ có được hệ thức sau : $\frac{AP}{AM}=\frac{NP}{MN}=\frac{NB}{QB}=\frac{16}{3}=>\frac{MP}{AM}=\frac{NQ}{QB}=>AM=QB$

Từ các dữ kiện : $AM=BQ;MN=PQ$ và các tỉ lệ ta dễ dàng suy ra được độ dài $AN=PB$ (quãng đường người 2,3 đi bộ)

Xin lỗi mấy bạn vì sự nhầm nhọt nặng ở đề bài, đề đúng như To-to-ro nói, vận tốc đi bộ là 4km/h. Nhưng vấn đề với vận tốc 3km/h không phải vì số lẻ mà ta bảo nó sai đề, mà sai ở đây là nếu đi với vận tốc 3 km/h thì không tài nào đến B sớm hơn 9h.Đó chính là vấn đề mình gặp phải, nếu là 4km/h thì mình có cách này các bạn tham khảo xem có dễ hiểu hơn ko.

Vấn đề là ta đang cần tính thời gian để người thứ 2 và 3 cùng đáp đích B lúc 9h.

Gọi thời gian đi bộ của người 3 là $t_1$, thời gian đi xe đạp cùng vs người 2 để về B là $t_2$.

Từ đề bài ta có hpt rất đơn giản : $\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=1 & \\ 4t_1+16t_2=8& \end{matrix}\right.$

Vấn đề đến đây quá đơn giản rồi!

Vậy thì ta thử tổng quát hóa bài này xem sao, với thời gian đã định $t$ bất kì thì ba người phải đến được đích, từ đây tìm giới hạn thời gian người 2 và người 3 đi bộ

Cả hai bài đều có thể nhân hai vế triệt mẫu số rồi giải $\triangle$ ra là xong mà bạn

Đặt $\frac{a}{1 -a}=x; \frac{b}{1-b}=y; \frac{c}{1-c}=z=>xyz=1$

$=> a=\frac{x}{x+1}; b=\frac{y}{y+1}; c=\frac{z}{z+1}$

$=> S = \frac{x^3}{(x+1)^3}+ \frac{y^3}{(y+1)^3}+ \frac{z^3}{(z+1)^3}$

Xét $\frac{x^3}{(x+1)^3} =\frac{x^3}{x^3 +3x^2 +3x+1}=\frac{x^3}{x^3 +3x^2 +3x+xyz}=\frac{x^2}{x^2+3x+3+yz}$  

$=> S\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3(x+y+z)+9}$

Do $xy+yz+zx\geq3; x+y+z\geq 3(Do xyz=1)$

$=>S\geq\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+(x+y+z)^2+6+xy+yz+zx}=\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+6}$

$\geq\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+\frac{2}{3}.(x+y+z)^2}=\frac{3}{8}$

Dấu $= : x = y = z = 1 => a = b = c = \frac{1}{2}$

Cho a,b,c là các số thực phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

$P=\sum a^2 + \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

Giải bài toán gốc trước

Đặt

$f(a,b,c)=\sum a^2 . \sum \frac{1}{(a-b)^2} $

Ta thấy $f(a,b,c) \geq f(a-c,b-c;0)$

Do đó, ta chỉ cần tìm min trong TH $c=0$

Thay vào, tìm được min P

Còn bài toán đầu thì chỉ cần AM-GM là ra lại bài toán gốc

quan trọng là dấu bằng nên không AM-GM để ra bài toán gốc được

Dù sao lời giải cho bài toán gốc của bạn là đúng rồi

Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các tính chất sau : 

1. Phần tử nhỏ nhất của A là 1 , phần tử lớn nhất của $A$ là 100

2. Mọi phần tử khác 1 của A đều bằng tổng 2 phần tử thuộc A (có thể bằng nhau)

Gọi $S(n)$ là số phần tử của A . Tìm GTNN của $S(n)$

Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất hở anh ?

Em nhớ là giá trị nhỏ nhất hay sao ý, hình như bằng $8$ thì phải.

Nếu là giá trị lớn nhất thì có vẻ khó chứ giá trị nhỏ nhất thì dễ lắm

Đặt $m = (a;b) => a=mx; b=my$  (Có $(x,y)=1$)

$=>A=\frac{m.(x+y)^3}{y^2}$

Do $(x,y)=1=>m\vdots y^2=>m\geq y^2=>A\geq (x+y)^3\geq27$ (Do $a\neq b\neq0$)

Dấu = : $x=1;y=2;m=y^2=>a=4,b=8$

    hoặc $x=2;y=1;m=y^2=>a=2,b=1$

Mình có lời giải này nhưng để tìm được dấu $"="$ thì lại phải dùng đạo hàm. Dấu $"="$ là $x=\sqrt{3}$

$\frac{A}{14}=P=\frac{x^3}{x^2-1}$

Ta sẽ chứng minh $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}<=>2x^3\geq 3\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}<=>(x-\sqrt{3})^2(2x+\sqrt{3})\geq0$ (Điều này luôn đúng)

Vậy $Min(P)=\frac{3\sqrt{3}}{2}<=>x=\sqrt{3}$

Ai có lời giải tự nhiên hơn thì đăng lên nhé 

Một bài toán "kì lạ" mà sao nhiều người tham gia giải thế vậy trời.

Xét $\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}=\frac{a^2-a+xy}{a(a-b)(a-c)}$

Vậy thì từ đây ta chỉ cần tìm GTLN của $Q=xy.\sum \frac{1}{a(a-b)(a-c)}$ thì sẽ dễ dàng suy ra bài toán

Ta sẽ chứng minh $M=\sum \frac{1}{a(a-b)(a-c)}\geq0$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

BĐT trên tương đương với $\frac{1}{(a-b)(b-c)(a-c)}.(\frac{b-c}{a}-\frac{a-c}{b}+\frac{a-b}{c})\geq0$

$<=>\frac{b-c}{a}-\frac{a-c}{b}+\frac{a-b}{c}\geq0<=>(b-c)(a-b)(\frac{1}{bc}-\frac{1}{ab})\geq0$ (Luôn đúng với $a\geq b\geq c$)

Từ đây $Q=Mxy\leq\frac{M}{4}$

P max khi $x=y=\frac{1}{2}$ (Pmax bằng bao nhiêu bạn tự tính)

Từ giả thiết suy ra $x\leq\sqrt{8};y\leq4$

Ta xét hai trường hợp : $x\leq2y, x>2y$

TH1 : $x\leq2y$. Ta sẽ chứng minh $P\leq2$, thật vậy ta có : 

$x^2+2x+y^2+y\leq2(xy+2y+x+2)<=>(x-2y)x\leq(4-y)(y+1)$ (Luôn đúng)

TH2 : $x>2y=>x>\sqrt{2}y$. Ta sẽ chứng minh $p\leq\sqrt{8}$, thật vậy ta có

$x^2+2x+y^2+y\leq\sqrt{8}(xy+2y+x+2)<=>(x-\sqrt{2}y)^2-y^2\leq2x(\sqrt{2}-1)+y(4\sqrt{2}-1)+2\sqrt{8}$

Do $y>0, x>\sqrt{2}y=>(x-\sqrt{2}y)^2\leq x^2$. Vậy ta chỉ cần chứng minh 

$x^2\leq2x(\sqrt{2}-1)+2\sqrt{8}<=>(x-\sqrt{8})(x+2)\leq0$ (Luôn đúng)

Từ hai trường hợp suy ra $Max P=\sqrt{8}<=>x=\sqrt{8},y=0$

Hình như đề bài chưa đúng, với $c$ càng lớn thì A càng nhỏ. Đã giải được với a,b,c không âm.

Ta có : $\frac{a^{2}}{a^{2} + bc + 1} = \frac{2a^{2}}{2(a^{2} + bc + 1)} = \frac{2a^{2}}{2a^{2} + 2bc +  a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

 $= \frac{2a^{2}}{3a^{2} + (b + c)^{2}} \leq \frac{2a^{2}}{2a^{2} + 2a(b + c)} = \frac{a}{a + b + c}$

$=> A \leq \frac{a + b}{a + b + c} + \sqrt{a + b} \leq 1 + \sqrt{a + b}$ (Do $c \geq 0$)

$a + b \leq \sqrt{2(a^{2} + b^{2})} \leq \sqrt{4} = 2$

$=> A \leq 1 + \sqrt{2}$

Với $\alpha$ nhỏ hơn 0 thì khá khó chịu đấy

Đã làm được với trường hợp $2\sum a^2\geq1$ thử nghĩ với $2\sum a^2<1$ xem sao

Ta có : $5 - 2(b + c) = 5 - 6 + 2a = 2a -1 \leq a^{2} + 1 - 1 = a^{2}$

$=> \frac{a^{2}}{\sqrt{5 - 2(b + c)}} \geq \frac{a^{2}}{\sqrt{a^2}} = a$

$=> P \geq a + b + c = 3$

$Min(P) = 3 <=> a = b = c = 1$

 Do 2013 lẻ nên $a + b, c + d$ 1 số lẻ, 1 số chẵn $=> (a + b - c - d)^2 \geq 1$

Giả sử $a + b$ lẻ => $a, b$ 1 số lẻ, 1 số chẵn $=>(a - b)^2 \geq 1$

Ta có : $4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2 \leq (a + b)^2 - 1; 4cd = (c + d)^2 - (c - d)^2 \leq (c + d)^2$

$=> 16abcd \leq [(a + b)^2 -1](c + d)^2 = (a + b - 1)(c + d)(a + b + 1)(c + d)$

$= \frac{[(a + b + c + d)^2 - (a + b - c - d -1)^2][(a + b + c + d)^2 - (a + b - c - d + 1)^2]}{16} $

$=\frac{[2013^2 - (a + b - c - d)^2 -1 + 2(a + b - c - d)][2013^2 - (a + b - c - d)^2 -1 - 2(a + b - c - d)]}{16}$

$=\frac{[2013^2 - (a + b - c - d)^2 -1]^2 - 4(a + b - c - d)^2}{16} \leq \frac{(2013^2 - 1 -1)^2 -4}{16}$

Dấu "=" : $(a + b - c - d)^2 = 1; a - b = 1, c - d = 0, a + b lẻ => c = d = b =503, a = 504$

Còn một trường hợp c + d lẻ làm tương tự

Tìm các số tự nhiên $a,b,c,d$ thoả mãn $ 4^a.5^b - 3^c.11^d = 1.$

Một nghiệm của phương trình là $a=c=1, b=d=0$

Các trường hợp $a=0$ với $b=0$ có lẽ không cần nói đến

Với $d=0$

Nếu $c=0$ thì vô lí $=>c\neq 0=> c$ lẻ (ai đọc tự hiểu ) $=> 3^c+1\not \vdots 5$ 

Xét với $d>0$ thì chỉ cần bổ đề sau là được 

Giải nốt sẽ hơi nhàm 

Lời giải còn sơ sài, thiếu chỗ nào mọi người thông cảm 

Mình mới tìm ra min thôi:

Ta có:

$2S= 8+2xy-4(x+y)\Leftrightarrow 2S+1= (x+y)^{2}-4(x+y)+8\geq 4$

$\Leftrightarrow S\geq \frac{3}{2}.$

Xem lại dấu "="

Biến đổi như trên thì ta chỉ cần phải tìm min, max của : $(x+y)^2-4(x+y)+4=(2-x-y)^2$

Dễ dàng nhận thấy $2>x+y$ nên ta chỉ phải tìm min, max của $2-x-y>0$

Mà $(x+y)^2=1+2xy\leq 1+\frac{(x+y)^2}{2}<=>(x+y)^2\leq 2<=> -\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}$

Vậy $S_{min}$ khi $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $S_{max}$ khi $x=y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

ai giải bài hình với

Máy nhà đang hỏng nên không vẽ được hình lên đây, nói chay vậy nhé

a) Do N là tiếp điểm nên $NK\perp BC$ mà $OE\perp BC=>đ.p.c.m$ (Tự hiểu nhé)

Từ trên suy ra $\widehat{EOF}=\widehat{NKF}=>2.\widehat{NMF}=\widehat{EOF}=2\widehat{EAF}=>đ.p.c.m$

b)Từ a) suy ra $\widehat{IFA}=\widehat{IMA}=\widehat{DMN}=\widehat{NFM}=>\widehat{MFA}=\widehat{NFI}=>\widehat{EIN}=\widehat{EFI}=>EI^2=EN.EF$

Cũng dễ dàng chứng minh $EC^2=EN.EF$ nên ta có điều phải chứng minh

c)Phần này có lẽ dễ nhất mình nói tắt thôi

$\widehat{BIE}=90^{\circ}-\frac{\widehat{C}}{2}$

Mà $\widehat{BIE}=\widehat{IBA}+\frac{\widehat{A}}{2}=>\widehat{IBA}=\frac{\widehat{B}}{2}=>đ.p.c.m$

Bạn thử giải hệ này xem, giải được thì sẽ tìm được giá trị lớn nhất.

$\left\{\begin{matrix}m^2+n^2=1\\m^2nx=n+m^2\\n^2x+2n=m^2+1\end{matrix}\right.$

Nếu bài toán vô nghiệm thì sẽ thực sự đau đầu đây 

Tại sao $CM=\frac{3}{4}CD$ thế bạn?

Xin lỗi đã viết khá tắt, CM = CK = $\frac{3}{4}CD$

Từ M, I kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt AC lần lượt tại G, K.

Do M, I lần lượt là trung điểm BC và HM nên G là trung điểm DC và K là trung điểm DG.

Mà K là điểm tiếp xúc của (I) với AC $=> CM = \frac{3}{4}CD (1) => CB = \frac{3}{2}CD$

$\Delta ACM \sim \Delta BCD => \frac{AC}{MC} = \frac{BC}{CD} = \frac{3}{2} (2)$ 

Từ $(1), (2) => \frac{AD}{CD} = \frac{1}{8} => \frac{AD}{DG} = \frac{1}{4} = \frac{AH}{HM}$

$=> đ.p.c.m$