vnmath98

Ta có:

$S=(1-\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+\frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Áp dụng AM-GM

$(1-\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 3-\sqrt{3}$

Áp dụng Cauchy-schwarz

$\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3}(ab+bc+ac)}$

Áp dụng AM-GM

$\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3}(ab+bc+ac)}+\sqrt{3}\geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

ÁP dụng Cauchy-schwarz

$\frac{2(a+b+c)}{\sqrt{ab+bc+ca}}+\frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{9(a+b+c)}{2\sqrt{ab+bc+ca}+\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\geq$$\frac{9(a+b+c)}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca))}}\doteq3\sqrt{3}$

Từ các bất đẳng thức như trên ta sẽ có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.

 

Nhận xét:

Lời giải trình bày vắn tắt và không rõ ràng.Hơn nữa BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ở THCS không được sử dụng,khi dùng phải dưới dạng bổ đề và chứng minh.

Trình bày công thức Toán tốt.

 

Điểm: 6/10.

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a + b + c = 6$. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của tổng $S=\sqrt[3]{a^{2}+2bc}+\sqrt[3]{b^{2}+2ac}+\sqrt[3]{c^{2}+2ab}$

Hoder

$(\sum \sqrt[3]{a^{2}+2bc})^3\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum a^2+2bc)=18^2$

Đến đó bạn tự tìm Max nhe.

Cho x+y+z=1 và x;y;z>0. CMR: $9(xy+yz+xz)+2\geq 7xyz$

Vào lúc 05 Tháng 4 2013 - 19:20, tieutuhamchoi98 đã nói:
Sao đề là a+b+c =1 mà chứng minh x,y,z vậy bạn!

Mình nhầm

Cho a,b,c$\geq 0$ . CMR: $\sum \sqrt{a^4+(ab)^2+b^4}\geq \sum a\sqrt{2a^2+bc}$

Gợi ý:

Bạn áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$,cho:

$(a+b)(b+c)(c+a) \le \dfrac{(2a+2b+2c)^3}{27}$

$abc \le \dfrac{(a+b+c)^3}{27}$

là ra ngay thôi

Mong bạn chỉ ra nốt, làm theo cách bạn mình không ra.

----

Oral:Trước đó thì bạn caubetoan có đăng đề là $a+b+c=3$ sau đó mới sửa lại là $ab+bc+ac$.Toàn đã ẩn nhưng không ẩn cái của mình

98:Ra vậy, mong Toàn đại hiệp ẩn luôn bài này hộ mình. 

AM-GM

$9a+9b+9c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt[4]{9^3}$

Dùng Cauchy-Schwarz

$1=a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$$\Rightarrow a+b+c\leq ?$

Như vậy ta tìm được Min

Cho các số dương x,y thay đổi thõa mãn điều kiện: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

                 P=$\left ( x^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )$

Cho mình hỏi, đề bài của bạn đúng không vậy???

$\sqrt{a^3+1}=\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}$

Cái còn lại tương tự

Sau đó ta dùng Cachy- schawrz

$\sum \frac{2a}{b^2+2}\geq \frac{32}{8+ab(a+b)}$

Đến đây chắc dễ rồi

Hình như là bài trong ttt2, hết hạn rồi thì phải 

$P=(b-c)(a-b)(a+b)+c^2(1-c)$

$(c-b)(b-a)(a+b)=\frac{(b-a)(a+b)(2c-2b)}{2}$

Đến đây dùng AM-GM 3 số chỉ còn lại biến c rồi xác định dấu = và lại AM-GM là ra.

không biết đúng hay sai
Thay 2012=2(a+b+c)
$\sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ca+b^2+c^2+2bc}{4}-bc}$$=\sqrt{\frac{(2a+b+c)^2}{4}-ab}\geq \frac{2a+b+c}{2}$
Đến đây chắc ra
dấu = khi 2 trong 3 số = 0

AM-GM $\frac{x^3}{y+z}+\frac{(y+z)}{2}+2\geq 3x$
Những bất đẳng thức còn lại tương tự 

Khai triển ra ta được $16(xy)^{2}+12(x^{3}+y^{3})+34xy=16(xy)^2+12(x^2+y^2-xy)+24xy$$=(4xy)^2-2xy+12=(4xy-\frac{1}{4})^2+11\tfrac{3}{4}$
min=$11\tfrac{3}{4}$ còn max thì $xy\leq \frac{1}{4}$ thay vào chắc là ra.
Phần Max ko biết đúng sai   

Còn cách nữa ở http://diendantoanho...b-fracba-geq-2/

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\geq 2\Leftrightarrow \frac{(a-b)^{2}}{ab}\geq 0$
luôn đúng

1:a, a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=(a+b)((a+b)²-3ab)

a+b chia het cho 3 nen ta co dpcm