Lấy $x \in [a,b]$, khi đó tồn tại một dãy số hữu tỷ $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_n \in [a,b]$ sao cho $\lim_{n \to \infty}x_n = x$. Ta có

$$f(x) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim g(x_n) = g(\lim x_n) = g(x).$$

Trường hợp số vô tỷ chứng minh tương tự với lưu ý rằng mỗi số $x \in [a,b]$ đều là giới hạn một dãy toàn số vô tỷ: thật vậy lấy $\epsilon$ đủ nhỏ và vô tỷ sao cho $x + \epsilon$ nằm trong $[a,b]$, khi đó $x + \epsilon = \lim x_n$ với mỗi $x_n \in \mathbb{Q} \cap [a,b]$, khi này $x  = \lim (x_n - \epsilon)$, khi $n$ ra đủ lớn thì $x_n - \epsilon \in [a,b]$.

Cho $X = \mathbb{C}$ là mặt phẳng phức, xét ánh xạ chỉnh hình
$$f: X \longrightarrow X, z \longmapsto z^2.$$ Kí hiệu $\mathbb{C}_X$ là bó hằng với giá trị $\mathbb{C}$ trên $\mathbb{C}$.

• Cho $x \in X$, tính thớ của bó $f_*(\mathbb{C}_X)$ tại $x$, suy ra rằng bó này không hằng địa phương.
• Xét phân hoạch $X = Y \sqcup Z$ trong đó $Y = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ and $Z = \left \{0 \right \}$. Chứng minh rằng các hạn chế $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$ và $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Z}$ đều là các bó hằng địa phương (locally constant).
• Xét phương trình $2zf'(z) = f(z)$ trên $Y$, chứng minh rằng đơn đạo của phương trình này là không tầm thường. Hệ số $2$ trong $2zf'(z)$ có quan trọng không? Nếu thay đổi bằng một số không nguyên thì đơn đạo thay đổi như thế nào?

Phần tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng $\mathbb{C}_Y$ là một hạng tử trực tiếp của $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$. Định nghĩa bó $\mathcal{Q}$ trên $\mathbb{C}^{\times} = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ bởi
$$\mathcal{Q}(U) = \left \{g: U \longrightarrow \mathbb{C} \mid 2zg'(z) = g(z) \right \}$$ với mỗi tập mở $U \subset \mathbb{C}^{\times}$.

• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ là hằng địa phương.
• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ không hằng bằng cách chỉ ra nó không có một lát cắt toàn cục nào.
• Bằng cách xét hai cấu xạ $$\mathbb{C}_Y(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto g \circ f$$ và $$\mathcal{Q}(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto \frac{g \circ f}{z}$$ hãy chứng minh rằng $(f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y) \simeq \mathbb{C}_Y \oplus \mathcal{Q}$.

Cho m,n là 2 số nguyên dương và $m|n$. Tìm ideal A của $\mathbb{Z}_n$ sao cho $\mathbb{Z}_n/A\cong \mathbb{Z}_m$.

Định lý đẳng cấu thứ ba: Cho $P \subset N \subset M$ là ba module trên một vành giao hoán có đơn vị $R$, khi đó $N/P$ là một ideal của $M/P$ và $(M/P)/(N/P) \simeq M/N$.

 

Chứng minh. Xét đồng cấu module $\mathrm{id}: M \longrightarrow M$, do $P \subset N$ nên nó cảm sinh một đồng cấu $M/P \longrightarrow M/N$. Rõ ràng đây là toàn cấu với hạt nhân $N/P$ (can you see why?) nên ta có đpcm theo định lý đẳng cấu thứ nhất.

 

Chọn $R = \mathbb{Z}$, $M = \mathbb{Z},N = m\mathbb{Z},P=n\mathbb{Z}$ thì $P$ là một module con của $N$ do $m \mid n$ và ta thấy $M/N \simeq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ và $M/P= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Từ đó kết luận $N/P$ là ideal (module con) cần tìm.

Cho n là số nguyên dương ( n>37) và $\pi (n)$ là hàm đếm số nguyên tố. Chứng minh rằng $\pi (n)<\frac{1}{3}n$

*Liệu có tồn tại một số nguyên dương k sao cho tồn tại một số hữu tỉ r $(r<\frac{1}{3})$ để $\pi (n)<rn$ với mọi n nguyên dương (n>k)

Có một kết quả chặt hơn của em và yếu hơn định lý số nguyên tố phát biểu rằng với mọi $n\geq 2$ thì $\frac{n}{6\mathrm{log}n} < \pi(n) < \frac{6n}{\mathrm{log}n}$. Chứng minh của nó khá sơ cấp, em có thể tham khảo cuốn Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, định lý 4.6.

$$\int_{0\leq x= \frac{2{\rm d}y^{2}}{{\rm d}x^{2}+ {\rm d}y^{2}}\leq 2}\frac{\cos y}{e^{x}\sqrt{x\left ( 2- x \right )}}{\rm d}x= \frac{\pi}{e}\quad{\rm for}\,0\leq y\leq\pi\;{\it ?}$$

Mình không hiểu bạn viết gì luôn

• Thứ nhất bỏ qua các "vi phân" $dx, dy$ mà bạn viết thì chỉ xét biểu thức dưới dấu tích phân thì nó là tích phân theo $x$ nhưng lại xuất hiện $\cos y$, tức là nó là hằng số?
• Ở cận tích phân bạn lại viết $x = f(dx,dy)$ trong khi $dx,dy$ là các vô cùng bé, không phải biến.
• Đây là box Giải tích thuộc mục Toán đại cương nên về cơ bản bạn không nên viết tiếng Anh ở đây.

Cho hàm $f:(0,+\infty ]\rightarrow \mathbb{R}$ khả vi bậc hai. Giả sử hàm $x{f}''(x)$ bị chặn và $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x}=0$.

Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow +\infty }{f}'(x)=0$

Dùng khai triển Taylor, với mỗi $x \in (0, +\infty)$ thì

$$f(2x) - f(x) = f'(x)x + \frac{(f^{''}(\theta))^2}{2}x^2,$$

với $x < \theta <2x$ nào đó, chia hai về cho $x$ ta có

$$2\frac{f(2x)}{2x} - \frac{f(x)}{x} = f'(x) + (\theta f^{''}(\theta))^2 \frac{x}{2\theta^2}.$$

Lấy giới hạn $x \to +\infty$ thì $\theta \to +\infty$ và lưu ý $\theta f^{''}(\theta)$ bị chặn, $x/\theta <1$ nên ta có đpcm.

Lưu ý. Viết $(0,+\infty]$ về cơ bản là không chuẩn.

Cảm ơn anh. Em vẫn muốn hỏi thêm tại sao có nghịch đảo thì bảo toàn hạng. Vì hạng của ma trận m*n không phải là ma trận vuông.

Hạng của một ma trận $A$ với các hàng $H_1,...,H_m$ (mỗi $H_i$ là một vector trong $\mathbb{R}^n$) là số chiều của không gian vector sinh bởi các vector $H_1,...,H_m$. Nếu bạn biến đổi sơ cấp trên các hàng, ví dụ $H_1+2H_2,H_2,...,H_m$ thì không thay đổi không gian mà nó sinh ra, vì hai hệ sinh có thể biến đổi ngược lại nhau.

Thưa mọi người, em muốn hỏi tại sao biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. Sách giải thích rất đơn sơ ạ

https://vi.m.wikiped.../Ma_trận_sơ_cấp

Bạn xem ở đây. Lý do vì mỗi biến đổi sơ cấp tương đương với phép nhân với một ma trận sơ cấp, mà mà trận sơ cấp thì khả nghịch nên nó không thay đổi hạng.

Nhân chéo ta có $(x^2+2)P(x^2+1)=(x^2+1)P(x^2+2)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$. Xem $P(x)$ như một đa thức hệ số trên $\mathbb{C}$ ta thấy đẳng thức trên cũng đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{C}$. Cho $x^2+1=0$ ta thấy $P(0)=0$ hay $x \mid P(x)$. Nói cách khác tồn tại $Q(x) \in \mathbb{R}[x]$ mà $P(x)=xQ(x)$. Từ đây ta thấy $Q(x^2+1)=Q(x^2+2)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{C}$. Nếu $Q = 0$ thì $P=0$. Nếu $Q \neq 0$ thì $Q$ có ít nhất một nghiệm phức $a$, khi đó dễ thấy (do phương trình $x^2+1=a$ luôn có nghiệm) $a+1$ cũng là nghiệm. Lặp lại quá trình này ta thấy $Q$ có vô số nghiệm, vô lý. Vậy chỉ có $P=0$ thoả mãn.

Do $a,b,c>0$
Ta có: $\sum (\frac{a}{2a+b})^{3} = \sum(\frac{1}{2+\frac{b}{a}}) ^{3}$
Đặt $x=\frac{b}{a}$ ; $y=\frac{c}{b}$ ; $z=\frac{a}{c}$
Khi đó bất đẳng thức cần CM là $\sum(\frac{1}{2+x}) ^{3}\geq \frac{1}{9}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
 $\sum(\frac{1}{2+x}) ^{3}\geq \frac{3}{\prod (2+x)}$
Theo AM-GM: $\prod (2+x)\leq(\frac{6+\sum x}{3}) ^{3}$
=> $\sum(\frac{1}{2+x}) ^{3}\geq \frac{81}{(6+\sum x)^{3}}$
Do bất đẳng thức là thuần nhất đồng bậc nên ta chuẩn hóa $x+y+z=3$
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$ $<=> a=b=c$

Từ chỗ $\prod(x+2)$ không dùng AM-GM được như bạn truongphat266 đã nhận xét, thay vào đó hãy dùng Holder ba biến với lưu ý $xyz=1$.

Cho $Q$ là một $P-$ideal nguyên tố của vành giao hoán Noether $R$. Chứng minh rằng tồn tại $n\in \mathbb{N}$ sao cho $P^{(n)}\subseteq Q.$

Mình giả sử bạn nói một $\mathfrak{p}$-ideal nguyên tố có nghĩa là $\mathfrak{q}$ là một ideal nguyên sơ (primary) và $\sqrt{\mathfrak{q}}=\mathfrak{p}$. Tuy nhiên khẳng định của bạn đúng với ideal bất kỳ (với giả thiết vành Noether) chứ không chỉ ideal nguyên sơ; nói khác, mọi ideal $I$ trong vành Noether chứa một lũy thừa của căn của nó. Thật vậy, lấy $x_1,...,x_n$ là một hệ sinh của $\sqrt{I}$ (lấy được hữu hạn do $R$ Noether) và giả sử $x_i^{n_i} \in I$. Với $k$ nào đó, xét $\sqrt{I}^k$ thì nó sinh bởi các "đơn thức" $x_1^{a_1}...x_n^{a_n}$ với $a_1+...+a_n=k$. Chọn $k$ đủ lớn thì ít nhất một trong các $a_i$ sẽ lớn hơn $n_i$. Cụ thể có thể chọn $k > n\mathrm{max}(n_i)$, khi đó đơn thức này nằm trong $I$.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta gọi một điểm là điểm vô tỉ nếu điểm đó có tọa độ cả x và y đều là số vô tỷ và tương tự một điểm gọi là điểm hữu tỉ nếu cả tọa độ x và y của điểm đó đều là số hữu tỉ. Một điểm gọi là điểm  bán hữu tỉ nếu  tọa độ x  điểm đó là số hữu tỉ và  tọa độ y là số vô tỷ. Tương tự một điểm gọi là điểm bán vô tỷ  nếu tọa độ x của điểm đó là số vô tỷ và tọa độ y của điểm đó  là số hữu tỉ

a) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm vô tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).

b) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm hữu tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).

c) Tìm một hàm số liên tục $f(x)$ sao cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy hàm số này chỉ đi qua những điểm  bán hữu tỷ ( nếu được hãy tìm tất cả các hàm liên tục như thế).

Mình không hiểu bạn hỏi gì, ví dụ thế nào là một hàm chỉ đi qua những điểm vô tỷ? Theo định nghĩa của bạn một điểm $(x,y)$ là vô tỷ nếu $x,y$ đều vô tỷ nhưng một điểm $(x,f(x))$ hoàn toàn có thể lấy $x$ vô tỷ hoặc hữu tỷ, như vậy thì bạn vô tình thừa nhận tập xác định hàm $f$ của bạn là vô tỷ hoặc hữu tỷ.

 

Đó là một điểm, còn nữa, bạn thâm chí chẳng ghi ra tập nguồn và tập đích của $f$.

 

Nếu bạn sửa rằng tìm một hàm $f$ mà $f(x)$ nhận giá trị hữu tỷ/vô tỷ với mọi $x$ thì nghe còn hợp lý, khi đó bài toán này được giải nếu bạn đã học tính liên thông, i.e. hàm liên tục biến tập liên thông thành liên thông và liên thông trong $\mathbb{R}$ chỉ là khoảng hoặc nửa khoảng.

 

Mình nghĩ bạn nên học cách trình bày trước khi đặt câu hỏi.

Chứng minh. Theo định nghĩa của không gian con riêng suy rộng, đồng cấu $(f-\lambda \text{id}_V)\mid_{R_\lambda}$ là lũy linh. Do đó, ta có thể chọn một cơ sở của $R_{\lambda}$ sao cho đối với cơ sở đó ma trận của $f \mid_{R_\lambda}$ có dạng chéo khối, với các đường chéo có dạng
$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0& \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 0& \lambda \end{pmatrix}$$

Bạn gõ sai rồi, ma trận này phải là

$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda \end{pmatrix}$$

Đó là do định lý 4.2 trong cùng sách, vì $(f-\lambda \mathrm{id}_V)_{\mid R_{\lambda}}$ là lũy linh nên nó có một cơ sở cyclic nên ma trận nó có dạng (ma trận ngay trên định lý 4.2)

$$(f- \lambda \mathrm{id}_V)_{\mid R_{\lambda}} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & 0 & ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...&0& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & 0\end{pmatrix}$$

Khi này bạn chuyển vế $\lambda \mathrm{id}$ sang vế phải sẽ suy ra dạng của $f$ là

$$ f_{\mid R_{\lambda}} = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda \end{pmatrix}$$

Do đó đa thức đặc trưng của $f_{\mid R_{\lambda}}$ sẽ là

$$P_{f_{\mid R_{\lambda}}}(X) = \mathrm{det}\begin{pmatrix} \lambda - X & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda - X& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda - X& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda - X& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda - X \end{pmatrix} = (\lambda - X)^{\mathrm{dim}(R_{\lambda})}.$$

Lý do là vì đây là ma trận tam giác trên nên định thức chỉ là tích các phần tử trên đường chéo.

Bài toán:   Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $\tau, \sigma  \in S_n$, ký hiệu $\tau \sigma = \tau\circ \sigma$

 

Chứng minh rằng           $det (A) =\sum_{\sigma \in S_n}sgn(\sigma )\,\,a_{\tau (1)\sigma \tau (1)}\,\,a_{\tau (2)\sigma \tau (2)}...\,a_{\tau (n)\sigma \tau (n)}$

Bình thường người ta lấy đây làm định nghĩa, mình không hiểu bạn dùng định nghĩa nào?

Ta đã biết rằng các phạm trù tam giác là nơi người ta làm đại số đồng điều nhưng có một vấn đề không tốt của nó là xây dựng nón (cone construction) không có tính hàm tử. Đây là chỗ tạo ra rất nhiều vấn đề thậm chí khiến người ta nghi ngờ rằng phạm trù tam giác chưa phải khái niệm đúng (ngày nay ta có các $\infty$-phạm trù ổn định và các phạm trù mô hình ổn định). Nhưng chúng ta cũng không thể định nghĩa lại phạm trù tam giác mà dùng một hàm tử nón được. Bản thân Verdier là người nghĩ ra định nghĩa đã nhận xét rằng một phạm trù tam giác mà được trang bị một hàm tử nón thì phải chẻ. Do đó nếu muốn xây dựng nón có tính hàm tử thì nó không phải một tính chất của phạm trù gốc, mà nó nằm trên một "phạm trù cao hơn". Nói khác nữa, khi nghiên cứu phạm trù tam giác (và đặc biệt hình thức luận sáu hàm tử) ta "không nên" nghiên cứu từng phạm trù đơn lẻ mà phải đi theo các họ phạm trù.

 

Một trong các cách đầu tiên được đề xuất để sửa chữa tính không-hàm tử là lý thuyết về các derivator của Grothendieck trong Pursuing Stacks năm 1983 và sau đó được công bố lại dưới tập bản thảo 2000 trang có tên Les Dérivateurs. Bài viết này của mình là một dẫn nhập về lý thuyết derivator. Một trong các cách hiểu nó là đọc lại các khái niệm trong tô-pô. Nhưng mình sẽ tiếp cận trực tiếp từ hướng trừu tượng. Ngày nay thì lý thuyết derivator đã có nhiều ứng dụng của nó, trong hạn chế hiểu biết của mình, chủ yếu là để sửa tính không hàm tử của rất nhiều xây dựng. Ví dụ trong đối đồng điều étale người ta hay bảo lấy chu trình triệt tiêu (vanishing cycles) là xây dựng nón của hàm tử đồng nhất và chu trình nearby (nearby cycles) là sai. Thực chất nó không là hàm tử, nhưng tính toán thì không thực sự tạo ra vấn đề.

 

Các động lực ban đầu của derivator có thể nói là đến từ các xây dựng trong phạm trù mô hình. Một điều mà ta rất hay gặp trong phạm trù mô hình là xây dựng của chúng quá phức tạp. Derivator là một cách để ta có thể thao tác trên sáu toán tử mà, như Joseph Ayoub nói, không bao giờ phải quay lại với phạm trù mô hình.

 

Định nghĩa và ví dụ

 

Ký hiệu $\mathrm{Cat}$ bởi $2$-phạm trù của các phạm trù nhỏ (small categories) và $\mathrm{CAT}$ bởi $2$-phạm trù của các phạm trù (với vật là phạm trù không nhất thiết nhỏ, $1$-cấu xạ là hàm tử, $2$-cấu xạ là biến đổi tự nhiên).

 

Một tiền-derivator (prederivator) $\mathbb{D}$ là một $2$-hàm tử ngặt (tất cả đẳng thức là dấu bằng, không phải đẳng cấu) $\mathbb{D}: \mathrm{Cat}^{op} \longrightarrow \mathrm{CAT}.$.

Ở đây $\mathrm{Cat}^{op}$ ta chỉ đảo chiều $1$-cấu xạ, tức là các hàm tử và giữ nguyên chiều của $2$-cấu xạ.

Hãy viết cụ thể định nghĩa này ra:

• Ở mức các vật, mỗi phạm trù nhỏ $I$ cho ta một phạm trù $\mathbb{D}(I)$.
• Với mọi hàm tử $u:I \longrightarrow J$ trong $\mathrm{Cat}$ cho ta một hàm tử $u^*:\mathbb{D}(J) \longrightarrow \mathbb{D}(I)$.
• Với mọi biến đổi tự nhiên $\alpha: u \longrightarrow v$ giữa hai hàm tử $u,v: I \longrightarrow J$ ta có một biến đổi tự nhiên $\alpha^*:u^* \longrightarrow v^*$.

Ký hiệu $\mathbf{e}$ là phạm trù gồm một vật một cấu xạ (tức là groupoid tầm thường). Nó là vật cuối trong $\mathrm{Cat}$. Ta goi phạm trù $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ là phạm trù nền của derivator $\mathbb{D}$. Hầu hết các xây dựng của ta sẽ xoay quanh phạm trù này theo một nghĩa nào đó.

 

Sau đây là các ví dụ.

• Mọi phạm trù nhỏ $I$ cho ta một derivator gọi là derivator khả diễn bởi $I$. Nó định nghĩa bởi $$I(J) = J^I = \mathrm{Func}(I,J)$$ (phạm trù các hàm tử - functor category). Với mọi hàm tử $u:J \longrightarrow J'$ ta có một hàm tử $u^*:\mathrm{Func}(I,J') \longrightarrow \mathrm{Func}(I,J)$ cho bởi phép hợp thành. Cũng bằng phép hợp thành ta có biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử. Phạm trù nền của nó $I(\mathbf{e}) = I$.
• Cho $\mathcal{A}$ là một phạm trù abel và ký hiệu $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})$ phạm trù các xích phức kiểu đổi đồng điều không bị chặn hai đầu. Ký hiệu $\mathbf{W}$ là lớp các tựa đẳng cấu của các xích. Với mọi phạm trù nhỏ $I$ thì phạm trù $\mathcal{A}^I$ cũng là phạm trù abel. Phép gán $$\mathbb{D}_{\mathcal{A}}(I) = D(\mathcal{A}^I)$$ cho ta một prederivator trong đó $D$ ký hiệu phạm trù dẫn xuất của một phạm trù abel. Có một xây dựng khác tương đương là ta xét $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})^I$ như một phạm trù mô hình trong đó các đồng luân yếu là các biến đổi tự nhiên mà là tựa đẳng cấu tại mọi bậc. Ký hiệu lớp các đồng luân yếu này bởi $\mathbf{W}^I$ thì ta có $$\mathbb{D}_{\mathcal{A}}(I) \simeq \mathbf{Ch}(\mathcal{A})^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$
• Ký hiệu $\mathbf{Top}$ bởi phạm trù các không gian tô-pô. Ta gọi một ánh xạ liên tục $f: X \longrightarrow Y$ là một tương đương đồng luân yếu nếu $f_n: \pi_n(X,x_0) \longrightarrow \pi_n(Y,f(x_0))$ là đẳng cấu với mọi $x_0 \in X$ và $n \geq 0$. Ta biết rằng $\mathbf{Top}$ là một phạm trù mô hình với các đồng luân yếu chính là các tương đương đồng luân yếu. Không những vậy, với mọi phạm trù nhỏ $I$ thì phạm trù $\mathbf{Top}^I$ cũng là một phạm trù mô hình trong đó một đồng luân yếu giữa hai hàm tử $u,v: I \longrightarrow \mathbf{Top}$ là một biến đổi tự nhiên mà là đồng luân yếu tại mọi vị trí. Điều này giống với trường hợp ở trên. Do đó ta có một prederivator $$\mathbb{D}_{\mathbf{Top}}(I) = \mathbf{Top}^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$
• Cả hai trường hợp trên nằm trong một xây dựng tổng quát hơn. Cho $\mathcal{M}$ là một phạm trù mô hình với lớp đồng luân yếu ký hiệu bởi $\mathbf{W}$. Để tốt cho các xây dựng, ta giả sử $\mathcal{M}$ sinh bởi các đối phân thớ (cofibrantly generated model category) khi đó với mỗi phạm trù nhỏ ta có một phạm trù $\mathcal{M}^I$ là phạm trù mô hình với các đồng luân yếu là các biến đổi tự nhiên và là đồng luân yếu tại mỗi bậc, ta ký hiệu lớp này bởi $\mathbf{W}^I$. Khi đó ta có một prederivator $$\mathbf{Ho}_{\mathcal{M}}(I) = \mathcal{M}^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$ Phạm trù nền của prederivator này hiển nhiên là chính $\mathcal{M}$.

 

Giờ ta sẽ thấy mỗi prederivator khi tính trên từng phạm trù nhỏ $I$ sẽ cho ta một biểu đồ trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$. Xây dựng này như sau: lấy $i \in I$ là một vật thì nó có thể xem như một hàm tử $i:\mathbf{e} \longrightarrow I$. Một cấu xạ $i \longrightarrow j$ trong $I$ có thể xem như một biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử $i \Rightarrow j: \mathbf{e} \longrightarrow I$. Khi đó mỗi cấu xạ $i \longrightarrow j$ cho ta một biến đổi tự nhiên $\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(\mathbf{e})$. Nói cách khác, ta có một hàm tử

$$\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathrm{Func}\left(I^{op},\mathbb{D}(\mathbf{e}) \right).$$ Hàm tử này cho ta một biểu đồ hình $I^{op}$ ở trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$. Nhưng lưu ý: hàm tử này hầu như không bao giờ là đẳng cấu.

 

Để đi đến các phiên bản hoàn chỉnh của derivator, ta cần thêm ít nhất hai hàm tử nữa.

 

Cho $\mathbb{D}$ là một prederivator và $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử. Ta nói

• $\mathbb{D}$ nhận một mở rộng Kan trái theo $u$ nếu tồn tại một cặp liên hợp $(u_{\#} \dashv u^*):\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$.
• $\mathbb{D}$ nhận một mở rộng Kan phải theo $u$ nếu tồn tại một cặp liên hợp $(u^* \dashv u_*):\mathbb{D}(J) \longrightarrow \mathbb{D}(I)$.

 

Tuy nhiên mở rộng Kan không đi theo một nghĩa thông thường mà nó phải thỏa mãn một số luật base change. Ta hãy quay lại phạm trù các vật đơn hình từng được xem xét ở đây. Trong ví dụ 7 ta đã biết rằng có một cặp liên hợp $(u_{\#} \dashv u^*)$ (trong bài đó ký hiệu $u_!$ thay vì $u_{\#}$, nhưng minh sẽ giải thích sau tại sao $u_{\#}$ là ký hiệu tốt hơn) và quan trọng hơn $u_{\#}$ có thể tính như một đối giới hạn trên một phạm trù slice nào đó. Điều này khiến ta quan tâm tới các biểu đồ sau: cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử và $j :\mathbf{e} \longrightarrow J$ là một vật.

\begin{CD} u/j @>p>> I\\@V\pi_{u/j}VV @VVuV\\ \mathbf{e} @>j>> J \end{CD}

và

\begin{CD} j/u @>q>> I\\@V\pi_{u/j}VV @VVuV\\ \mathbf{e} @>j>> J \end{CD}

trong đó

• $u/j$ có vật là các cặp $(i,f:u(i) \longrightarrow j)$.
• $j/u$ có vật là các cặp $(i,f:j \longrightarrow u(i))$.

Nói riêng ta có các cấu xạ đổi cơ sở $\pi_{\#}p^* \longrightarrow j^*u_{\#}$

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(\mathbf{e}) & \mathbb{D}(u/j)  \ar[l]_{\pi_{\#}} & \mathbb{D}(I) \ar[l]_{p^*}  & \\
                                     & \mathbb{D}(\mathbf{e}) \ar[u]^{\pi^*} \ar@/^1pc/[ul]^{\mathrm{id}}  & \mathbb{D}(J) \ar[u]_{u^*} \ar[l]_{j^*} & \mathbb{D}(I) \ar[l]^{u_{\#}} \ar@/_1pc/[ul]_{\mathrm{id}}
}
\end{xy}

Tương tự ta có một cấu xạ đổi cơ sở $j^*u_* \longrightarrow \pi_* q^*$.

Một tiền derivator là một derivator nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

• (Đối tích sang tích) $\mathbb{D}$ gửi đối tích sang tích. Nói cách khác, ta có một tương đương phạm trù $\mathbb{D}\big(\coprod_{i \in I}A_i \big) \simeq \prod_{i\in I}\mathbb{D}(A_i).$ Nói riêng ta có $\mathbb{D}(\varnothing) = \mathbf{e}.$
• (Đẳng cấu kiểm tra qua thớ) Một cấu xạ $f: X \longrightarrow Y$ trong $\mathbb{D}(I)$ là đẳng cấu khi và chỉ khi kéo lùi của nó qua tất cả các vật là đẳng cấu, i.e. $f_i: X_i \longrightarrow Y_i$ là đẳng cấu trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ trong đó $X_i = i^*X$.
• (Tồn tại các mở rộng Kan) $\mathbb{D}$ nhận mở rộng Kan trái và phải theo mọi hàm tử $u: I \longrightarrow J$.
• (Các định lý đổi cơ sở) Xét các biểu đồ giao hoán như trên khi đó các cấu xạ đổi cơ sở $$\pi_{\#}p^* \longrightarrow j^*u_{\#} \ \  j^*u_* \longrightarrow \pi_* q^*$$ là đẳng cấu.

Giờ chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về các derivator

• Với mọi phạm trù mô hình $\mathcal{M}$ sinh bởi các đối phân thớ thì $\mathbf{Ho}_{\mathcal{M}}(-)$ là một derivator.
• Một mô hình khác xuất phát từ tô-pô: xét $\mathbf{Top}_{\bullet}$ là phạm trù các không gian tô-pô định điểm (pointed topological spaces). Một phổ các không gian tô-pô là một họ $(X_n)_{n \geq 0}$ các không gian tô-pô cùng với các ánh xạ nối $\Sigma X_n \longrightarrow X_{n+1}$. Một cấu xạ giữa hai phổ là một họ cấu xạ giữa từng bậc làm giao hoán các cấu xạ nối. Một phổ được gọi là $\Omega$-phổ nếu liên hợp của các cấu xạ nối $X_n \longrightarrow \Omega X_{n+1}$ là các đồng luân yếu. Cho trước một phổ $X=(X_n)$, ta định nghĩa nhóm đồng luân ổn định của nó bởi $$\pi_{n}^{st}(X) = \mathrm{colim}_a \pi_{n+a}(X_a)$$ trong đó đối giới hạn này có nghĩa do ta có các cấu xạ $$[S^{n+a},X_n] \longrightarrow [S^{n+a+1},\Sigma X_n] \longrightarrow [S^{n+a+1},X_{n+1}].$$ Một cấu xạ được gọi là một tương đương đồng luân ổn định nếu nó cảm sinh đẳng cấu trên tất cả các nhóm đồng luân ổn định. Phạm trù đồng luân của nó chính là phạm trù đồng luân ổn định trong tô-pô. Phạm trù này sinh bởi các đối phân thớ và do đó theo ví dụ trên cho ta một derivator gắn với nó.
• Nếu $\mathbb{D}$ là một derivator thì với mọi $I$, pre-derivator $\mathbb{D}_I(J) = \mathbb{D}(I \times J)$ cũng là một derivator. Hơn nữa ta còn có một hàm tử $I$-dạng $$\mathbb{D}(I \times J) \longrightarrow \mathrm{Func}(I^{op},\mathbb{D}(J)).$$

Sau đây là một số tính chất cơ bản của derivator

Cho $\mathbb{D}$ là một derivator, khi đó $\mathbb{D}(I)$ có vật đầu và vật cuối với mọi $I$. Tổng quát hơn, $\mathbb{D}(I)$ là đầy đủ và đối đầy đủ.

Cho $S$ là một tập hợp xem như một phạm trù rời rạc, khi đó ta có một biểu đồ giao hoán

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(\coprod_{s \in S}I) \ar[r] \ar[d] & \prod_{s \in S}\mathbb{D}(I) \ar[d]   \\
                              \mathbb{D}(S \times I) \ar[r]  & \mathrm{Func}(S^{op},\mathbb{D}(I))
}
\end{xy}

trong đó theo tiên đề của derivator thì hàng ngang bên trên là tương đương, và hai cột dọc là tương đương theo nghĩa hiển nhiên. Do đó hàng ngang bên dưới, tức là hàm tử $S$-dạng là tương đương. Ta lại có một biểu đồ

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(S \times I) \ar[r] \ar[d]_{(pr_2)^*} & \mathrm{Func}(S^{op},\mathbb{D}(I)) \\
                              \mathbb{D}(I) \ar[r]_{\mathrm{id}}  & \mathbb{D}(I) \ar[u]^{\Delta}
}
\end{xy}

giao hoán trong đó $\Delta$ là hàm tử đường chéo. Nhưng do $(pr_1)^*$ nhạn cả mở rộng Kan trái lẫn phải (tức là liên hợp trái lẫn phải) nên hàm tử đường chéo cũng phải nhận cả liên hợp trái lẫn phải. Tức là tồn tại cả tích và đối tích theo tập chỉ số $S$.

Đồng luân tử định điểm

 

Từ bây giờ trở đi ta sẽ dịch derivator là đồng luân tử. Dĩ nhiên ta không thể dịch derivator bằng cách kết hợp "đạo hàm" (derivative) và "toán tử" (operator) hoặc "dẫn xuất" (derive) và "operator" để thành một cái gì đó như kiểu đạo tử hay dẫn tử được vì cách gọi này không gợi ra ý nghĩa của khái niệm. Cách dịch của mình lấy từ việc lý thuyết derivator phát hiện độc lập bởi hai người là A. Grothendieck và A.Heller trong đó Heller gọi derivator là một "homotopy theory" tức là một lý thuyết đồng luân. Do đó kết hợp cả hai lại mình nghĩ nên dịch là đồng luân tử.

Cho $\mathbb{D}$ là một đồng luân tử, ta biết rằng $\mathbb{D}(I)$ có cả vật đầu $\varnothing$ và vật cuối $\bullet$. Nếu cấu xạ duy nhất giữa hai vật này là đẳng cấu với mọi $I$ thì ta nói $\mathbb{D}$ là định điểm (pointed). Nói cách khác, $\mathbb{D}$ là định điểm nếu $\mathbb{D}(I)$ có vật không với mọi $I$.

Cho $\mathbb{D}$ là một đồng luân tử, khi đó:

• $\mathbb{D}$ là định điểm khi và chỉ khi $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ có vật không.
• Nếu $\mathbb{D}$ là định điểm thì với mọi hàm tử $u: I \longrightarrow J$, cả ba hàm tử $u_{\#},u^*,u_*$ bảo toàn vật không.

 

Cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử đầy đủ trung thành.

• Ta gọi $u$ là một sàng (sieve) nếu với mọi cấu xạ $u(a) \longrightarrow b$ thì $b$ nằm trong ảnh của $u$.
• Ta gọi $u$ là một đối sàng (cosieve) nếu với mọi cấu xạ $b \longrightarrow u(a)$ thì $b$ nằm trong ảnh của $u$.

Sau đây là hai ví dụ quan trọng nhất về sàng và đối sàng. Gọi $\mathbf{1}$ là poset $(0<1)$ xem như một phạm trù, xét $\square$ là phạm trù $\mathbf{1} \times \mathbf{1}$. Ở dạng biểu đồ ta có $\square$ là phạm trù

\begin{xy}
\xymatrix {
(0,0) \ar[r] \ar[d] & (1,0) \ar[d] \\
                 (0,1) \ar[r]  & (1,1)
}
\end{xy}

Ta ký hiệu $\ulcorner$ và $\lrcorner$ là hai phạm trù con sau

\begin{xy}
\xymatrix {
(0,0) \ar[r] \ar[d] & (1,0) \\
                 (0,1)  &
}
\end{xy}

và

\begin{xy}
\xymatrix {
 & (1,0) \ar[d] \\
                 (0,1) \ar[r]  & (1,1)
}
\end{xy}

Khi đó $\ulcorner$ là một đối sàng còn $\lrcorner$ là một sàng. Ta ký hiệu các phép nhúng tương ứng bởi $i_{\ulcorner}$ và $i_{\lrcorner}$.

Bổ đề dưới đây nói rằng sàng và đối sàng biểu hiện như nhúng mở và nhúng đóng trong hình học đại số. Để bắt đầu ta sẽ chứng minh rằng sàng và đối sàng là một khái niệm mà biểu hiện của nó không phụ thuộc vào đồng luân tử (giống như không phụ thuộc vào $2$-hàm tử $D^b_c(-,\mathbb{Q}_l)$).

Ta gọi một hình vuông

\begin{xy}
\xymatrix {
 I \ar[d]_{u} \ar[r]^{v} & I' \ar[d]^{u'} \\
        J \ar[r] _{w} & J'
}
\end{xy}

là khớp đồng luân nếu với mọi đồng luân tử thì hai cấu xạ đổi cở

$$u_{\#}v^* \longrightarrow w^*u'_{\#}   \ \ \ \ \ u^{'*} w_* \longrightarrow v_*u^*$$ là các đẳng cấu.

Cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử đầy đủ, trung thành, khi đó hình vuông

\begin{xy}
\xymatrix {
 I \ar[d]_{\mathrm{id}} \ar[r]^{\mathrm{id}} & I \ar[d]^{u} \\
        I \ar[r] _{u} & J
}
\end{xy}

là khớp đồng luân.

Do ta đang làm việc với các đồng luân tử nên đẳng cấu có thể kiểm tra qua các thớ. Như vậy ta có thể rút gọn về chứng minh rừang hình vuông dán bởi hai hình vuông sau là khớp đồng luân.

\begin{xy}
\xymatrix {
 I/i \ar[r]^{p}  \ar[d]_{\pi}& I \ar[d]_{\mathrm{id}} \ar[r]^{\mathrm{id}} & I \ar[d]^{u} \\
   \mathbf{e} \ar[r]_{i}  &   I \ar[r] _{u} & J.
}
\end{xy}

Do $u$ là đầy đủ, trung thành nên $I/u(i) \simeq I/i$. Điều này một lần nữa khiến ta rút gọn về chứng minh hình vuông dán bởi ba hình sau là khớp đồng luân.

\begin{xy}
\xymatrix {
 I/u(i) \ar[r] \ar[d]_{\pi} & I/i \ar[r]^{p}  \ar[d]_{\pi}& I \ar[d]_{\mathrm{id}} \ar[r]^{\mathrm{id}} & I \ar[d]^{u} \\
  \mathbf{e} \ar[r]_{=} & \mathbf{e} \ar[r]_{i}  &   I \ar[r] _{u} & J.
}
\end{xy}

Nhưng điều này là hiển nhiên theo tiên đề bốn.

Cho $\mathbb{D}$ là một đồng luân tử và $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử, khi đó:

• $u$ là một đối sàng thì $u_{\#}:\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$ là trung thành và đầy đủ. Hơn nữa $X \in \mathbb{D}(J)$ nằm trong ảnh của $u_{\#}$ khi và chỉ khi $X_j \simeq \varnothing$ với mọi $j \in J - u(I)$.
• $u$ là một sàng thì $u_{*}:\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$ là trung thành và đầy đủ. Hơn nữa $X \in \mathbb{D}(J)$ nằm trong ảnh của $u_{\#}$ khi và chỉ khi $X_j \simeq \bullet $ với mọi $j \in J - u(I)$.

 

Cho $M$ là một $R-modun$. Ta gọi một phép giải xạ ảnh của $M$ là một dãy khớp các đồng cấu $R-modun$

$...\rightarrow C_{n+1}\rightarrow C_{n}\rightarrow ...\rightarrow C_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

trong đó $C_{i}$ là $R-modun$ xạ ảnh, $\forall i\geq 0$. Chứng minh rằng mọi $R-modun$ $M$ đều có một phép xạ ảnh.

Chứng minh điều này khá dễ, nó chỉ là kĩ thuật chẻ dãy khớp dài thành dãy khớp ngắn nhưng trước khi chứng minh mình sẽ góp vài góc nhìn mà mình nghĩ có thể ai đó sẽ thấy có ích

• Giải xạ ảnh thì người ta thường kí hiệu bởi $P_{\bullet}$ hơn là $C_{\bullet}$ do chữ xạ ảnh trong tiếng anh là projective, ta thường viết gọn là $P_{\bullet} \twoheadrightarrow M$.
• Khi viết $P_{\bullet} \twoheadrightarrow M$ ta có thể hiểu là một dãy khớp dài, với vị trí bậc $(-1)$ là $M$. Tuy nhiên nếu ta xét phạm trù $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathrm{Mod}_R)$ với vật là các phức $C_{\bullet}$ mà $C_{k}=0 \ \forall k < 0$ và cấu xạ là các đồng luân dây chuyền thì ta có thể đồng nhất $M$ với phức $M_{\bullet}$ mà $M_0 = M, M_{n}=  0 \ \forall n \neq 0$. Như vậy thực chất một giải xạ ảnh (projective resolution) của $M$ là một đồng luân dây chuyền $f: P_{\bullet} \to M$ đồng thời là một tựa đẳng cấu (quasi-isomorphism), tức, nó cảm sinh đẳng cấu trên đồng điều.

Về chứng minh, ta chọn một module $F_0$ tự do và một toàn cấu $F_0 \to M \to 0$ sau đó bạn làm tương tự sẽ có một module $F_1$ tự do và một toàn cấu $F_1 \to \mathrm{Ker}(F_0 \to M) \to 0$. Tại sao chọn được? Ví dụ $F_0 \to M \to 0$ ta chọn một hệ sinh $\left \{m_i \mid i \in I \right \}$ của $M$ và xét một module tự do $\bigoplus_{i \in I} Rr_i$ với một cơ sở $\left \{r_i \mid i \in I \right \}$, khi đó đồng cấu $r_i \mapsto m_i$ định nghĩa trên từng phần tử của cơ sở sẽ xác định duy nhất một đồng cấu $R$-tuyến tính $\bigoplus_{i \in I}Rr_i \to M \to 0$.

 

Ghép hai dãy này ta có $F_1 \to F_0 \to M \to 0$ khớp, điều này hiển nhiên từ xây dựng, ta tiếp tục quá trình này sẽ thu được dãy thỏa mãn. Cuối cùng, bạn thấy mọi module tự do thì đều xạ ảnh nên ta có đpcm.

 

• Hiện tại có ai trên diễn đàn từng viết một nội dung tổng hợp như vậy chưa ạ?
• Các chứng minh cho các định lí và mệnh đề có cần chứng minh chi tiết không ạ?

 

Hiện tại chưa có ai viết kiểu tổng hợp nhưng anh có thể gợi ý em một số cách để viết thêm insight. Anh sẽ giả sử có hai cách viết:

• Cách đầu tiên là em có mục đích tổng hợp là chính và mọi người có thể thảo luận. Ví dụ em đưa ra một khái niệm và một số thứ liên quan xong mọi người từ quan điểm của mình sẽ đóng góp các góc nhìn khác nhau về nó.
• Cách thứ hai là em tự viết những bài rất nặng đô và phải chứng minh khá nhiều, như kiểu bài này hoặc bài này của anh nmlinh16. Hoặc không một kiểu nặng đô khác là vào các hướng nghiên cứu, cái này thì kiến thức lại không phải vấn đề chính, như bài này của anh, nhưng nó khó tồn tại lâu.

Dĩ nhiên còn tùy vào cái nào em muốn chứng minh hay không mà đan xen chứng minh hay không chứng minh, nhưng nên chọn cho mình một cách viết. Về đại số giao hoán, motivation của nó chủ yếu từ lý thuyết số và hình học đại số nên tốt hơn nên lấy một motivation và viết theo. Ví dụ

• Em có thể viết một bài lịch sử và cách hiểu hình học, nguồn gốc của các khái niệm đại số giao hoán tới từ đâu. Ví dụ phần này em có thể đọc tiết đầu cuốn đại số giao hoán của David Eisenbud ông ấy giới thiệu từ lý thuyết bất biến, bất biến hình học,... tòm lại là phải có chút hình học, chứ gục mặt vào Atiyah với Matsumura thì không ổn chút nào.
• Một số khái niệm trong sách đại số giao hoán của Atiyah thì tới từ đâu, không nên hiểu trừu tượng quá, ví dụ ideal nguyên sơ (primary ideals - chương 4 Atiyah) thì liên quan gì tới phân tích một đa tạp đại số thành thành phần bất khả quy.
• Nếu không thì pick một chủ đề lý thuyết số, như số p-adic hay vành Dedekind và viết theo, từ đó lấy được một số thứ trong đại số giao hoán như vành định giá rời rạc (discrete valuation rings aka DVR).
• Một chủ đề khác mà anh có thể nghĩ ra là vành Cohen-Macaulay (abbreviated CM), viết được cái này anh sẽ rất cảm ơn em. Trong đó ít nhất nên giải thích vành CM xuất hiện như thế nào. Theo anh hiểu kì dị kiểu CM là loại kì dị tốt, nằm đâu đó giữa kì dị chính quy và kì dị "xấu". Nó cũng xuất hiện trong đối đồng điều địa phương (local cohomology), đối ngẫu (Serre), vành giao đầy đủ (complete intersection) là CM.

Tóm lại ý anh là trừ khi em thảo luận những thứ ở tầm nghiên cứu nếu không những bài tổng hợp nên có một chứng minh hay, một enlightening insight mà mọi người có thể học được. Các kiến thức trong đại số giao hoán về cơ bản có các chứng minh "không quá dài" nhưng theo sau nó thường là các ý tưởng rất hình học. Vì em là thành viên mới nên cứ viết đi, dù sao cũng là một cách bắt đầu, dĩ nhiên viết ẩu sẽ bị anh Nxb xóa bài, anh thì dễ tính hơn không xóa đâu.

 

Đề nghị anh Nxb nhẹ tay với newbie, hãy để các em đóng góp cho diễn đàn; hồi xưa anh mà là QTV đi xóa bài của em thì... em bỏ VMF lâu rồi, hehe.

Dùng tạm thôi @perfectstrong à, còn nhiều hạn chế lắm. Đến hè nếu diễn đàn đông vui thì anh nâng cấp lên toàn bộ luôn. 

Test sửa bài @Nesbitttt.

 

@Nesbitttt

  làm sao vẽ được biểu đồ giao hoán đi anh

Em không biết đấy. Em nhớ lần trước hỏi anh hay ai đó thì bảo diễn đàn chưa có vẽ biểu đồ mà.

@Nesbit anh thử vụ tikz nữa xem T.T

Hình: Một em bé chụp tại VMC.

Hình: thầy Nguyễn Duy Tân tại phiên báo cáo toàn thể với tiêu đề On the Massey Vanishing Conjecture in Galois cohomology of fields.

Trong bài viết này, cho $K$ là một trường. Một đa tạp $X$ là một $K$-lược đồ nguyên tách được, kiểu hữu hạn (finite type), một đa tạp con $Z$ của $X$ là một nhúng đóng sao cho nó cũng là một đa tạp. Từ giả thiết $Z$ là bất khả quy do đó nó có một điểm generic ký hiệu bởi $\eta_Z$, ta ký hiệu $\mathcal{O}_{Z,X}$ để hiểu $\mathcal{O}_{\eta_Z,X}$. Ký hiệu $K(X)$ là trường hàm của $X$.

 

[Har] để chỉ R. Hartshorne, Algebraic Geometry.

[Ful] để chỉ W. Fulton, Intersection Theory, 1984.

 

Bài viết này chủ yếu theo chương $1,2$ của [Ful] trong đó mình collect các ý chính và chú giải ở một số chỗ. Mục đích để mang một dẫn nhập ngắn và nguồn tham khảo cho diễn đàn. Trong bài thứ hai của topic này mình sẽ giới thiệu về các correspondences (có khá nhiều loại correspondence), nó xuất hiện trong mọi xây dựng các phạm trù motive và bài viết cuối sẽ giải thích tại sao ta lại quan tâm đến các correspondence.

 

Chu trình đại số

 

Định nghĩa Ta định nghĩa bậc triệt tiêu dọc theo $Z$ của một hàm hữu tỷ $r \in K(X)$ là $\mathrm{ord}_{Z}(r)=\mathrm{length}_{\mathcal{O}_{Z,X}}(\mathcal{O}_{Z,X}/(a)) - \mathrm{length}_{\mathcal{O}_{Z,X}}(\mathcal{O}_{Z,W}/(b))$ nếu $r = a/b$ trong đó $a,b \in \mathcal{O}_{Z,X}$.

 

Ví dụ. Khi $Z$ có đối chiều một trong $X$ thì $\mathcal{O}_{Z,X}$ là một DVR ta do đó ta có thể định nghĩa $\mathrm{ord}_Z(r) = v_{\eta_Z}(a)-v_{\eta_Z}(b)$ trong đó $v_{\eta_Z}$ là định giá của $\mathcal{O}_{Z,X}$.

 

Định nghĩa Cho $X$ là một đa tạp, một $k$-chu trình trên $X$ là một tổng hình thức có giá hữu hạn $\sum n_i Z_i$ trong đó $n_i \mathbb{Z}$ và $Z_i$ là các đa tạp con $k$ chiều. Ký hiệu $Z_k(X)$ cho nhóm các $k$-chu trình. Ký hiệu $Z_*(X)= \bigoplus_{i=0}^{\mathrm{dim}(X)}Z_i(X)$.

 

Với $W$ là một đa tạp con của $X$ chiều $(k+1)$, lấy $r \in K(W)^*$ ta định nghĩa được một $k$-chu trình $\mathrm{div}(r)$ bởi

$$\mathrm{div}(r) = \sum \mathrm{ord}_{Z,W}(r)Z,$$

trong đó tổng chạy trên tất cả các đa tạp con đối chiều $1$ của $W$. Xem [Har], II, lemma 6.1 để thấy tổng trên hữu hạn.

 

Định nghĩa. Hai $k$-chu trình được gọi là tương đương hữu tỷ nếu hiệu của chúng là một chu trình dạng $\mathrm{div}(r)$. Nhóm Chow thứ $k$, ký hiệu $\mathrm{CH}_k(X)$ được định nghĩa bởi $$\mathrm{CH}_k(X) = Z_k(X)/\left \{\text{Tương đương hưu tỷ} \right \}.$$

Bổ đề. Nếu $X$ là hợp rời của các lược đồ $X_1,...,X_n$ thì $Z_k(X) = \bigoplus_{i=1}^n Z_k(X_i)$ và tổng trực tiếp này descend xuống $\mathrm{CH}_k(X) = \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{CH}_k(X_i)$.

 

Bổ đề. Nếu $X_1,X_2$ là các lược đồ con đóng của $X$ thì ta có một dãy khớp

$$\mathrm{CH}_k(X_1 \cap X_2) \to \mathrm{CH}_k(X_1) \oplus \mathrm{CH}_k(X_2) \to \mathrm{CH}_k(X_1 \cup X_2) \to 0.$$

 

Bây giờ cho $X$ là một lược đồ bất kỳ (không nhất thiết of finite type), khi đó với mọi thành phần bất khả quy $X_i$ của $X$ thì $\mathcal{O}_{X_i,X}$ là vành Artin địa phương. Ta định nghĩa chu trình cơ bản của $X$ là (lạm dụng ký hiệu) $X = \sum_{$X_i \subset X \ \text{bkq}$} \mathrm{length}_{O_{X_i,X}}(\mathcal{O}_{X_i,X})X_i$.

 

Đây xuôi của chu trình

 

Cho $f: X \to Y$ là một cấu xạ riêng. Khi đó vì $f$ liên tục nên nếu $Z$ là một đa tạp con của $X$ thì $f(Z)=W$ là một đa tạp con của $Y$; nó đóng do $f là riêng. Nói riêng $K(Z)/K(W)$ là một mở rộng trường.

 

Định nghĩa. Ta định nghĩa đẩy xuôi $f_*(Z) = \mathrm{deg}(Z/W)Z$ trong đó $\mathrm{deg}(Z/W) = [K(Z):K(W)]$ nếu $\mathrm{dim}(Z) = \mathrm{dim}(W)$ và $0$ trong trường hợp khác.

 

Lưu ý 1. Định nghĩa bậc này tốt vì khi $\mathrm{dim}(Z)  = \mathrm{dim}(W)$ thì $K(Z)/K(W)$ là một mở rộng hữu hạn. Thật vậy ta quy bài toán về trường hợp affine, giả sử $A \hookrightarrow B$ là một nhúng (nhúng do hạn chế $f: Z \to W$ là áp đảo) của hai $K$-đại số hữu hạn sinh đồng thời là hai miền nguyên. Khi đó $\mathrm{Frac}(A) \hookrightarrow \mathrm{Frac}(B)$. Điều kiện $\mathrm{dim}(A) = \mathrm{dim}(B)$ nói rằng $\mathrm{tr.deg}_K(\mathrm{Frac}(A)) = \mathrm{tr.deg}_K(\mathrm{Frac}(B))$ hay mở rộng $\mathrm{Frac}(B)/\mathrm{Frac}(A)$ là mở rộng đại số, tuy nhiên $B=A[a_1,...,a_n]/A$ hữu hạn sinh nên $\mathrm{Frac}(B)/\mathrm{Frac}(A)$ hữu hạn sinh. Thật vậy viết mọi phần tử của $\mathrm{Frac}(B)$ dạng $b/b'$, khi đó $b=f(a_1,...,a_n)$, $b'=g(a_1,...,a_n)$ và $b'h(b')=1$ với $f,g \in A[x_1,...,x_n],h \in \mathrm{Frac}(A)[x]$ nên $b/b'=P(a_1,...,a_n)$. Theo Hilbert's Nullstellensatz thì nó là mở rộng hữu hạn.

 

Lưu ý 2. Theo công thức tháp trường, ta thấy đẩy xuôi trên chu trình có tính hàm tử.

 

Mệnh đề. Cho $f: X \to Y$ là một cấu xạ riêng, khi đó nếu $\alpha$ là một $k$-chu trình tương đương hữu tỷ với $0$ trên $X$ thì $f_*\alpha$ tương đương hữu tỷ với $0$ trên $Y$. Nói riêng, $f_*: \mathrm{CH}_*(X) \to \mathrm{CH}_*(Y)$ là một hàm tử.

 

Lưu ý 3. Điều kiện riêng không thể bỏ đi được.

 

Kéo ngược phẳng

 

Định nghĩa. Cho $f : X \to Y$ là một cấu xạ phẳng, ta nói $f$ có chiều tương đối $n$ nếu với mọi $X' \subset X, Y' \subset Y$ là các thành phần phất khả quy sao cho $f(X') \subset Y'$ thì ta có $\mathrm{dim}(X) = \mathrm{dim}(Y) + n$.

 

Lưu ý. Theo [Har], III, corollary 9.6 thì điều kiện trên tương đương với việc mọi thành phần bất khả quy của $X_y  = X \times_{Y} \mathrm{Spec}(k(y))$ có chiều $n$ với $y \in Y$. Lớp cấu xạ này hiển nhiên bao gồm các cấu xạ smooth.

vẫn đang không biết đọc $\infty$-cat như thế nào, đọc cụ Kodaira cảm thấy được an ủi phần nào.

Dù ai cũng có thể chửi bới chỉ trích những cuộc thi này nhưng nó cũng có tác dụng tích cực nhất định giúp hun đúc khả năng và tài năng Toán.

Truyền cảm hứng và đam mê một phần là để các em bớt có những suy nghĩ ngộ nghĩnh từ các cuộc thi này.