Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
$x^{2}+y^{2}$+$\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^{2}=2$ (ĐK: x+y\neq0)
$\Leftrightarrow (x+y)^{2}-2(xy+1)+(\frac{xy+1}{x+y})^{2}-2xy+2(xy+1)=2
$\Leftrightarrow (x+y-\frac{xy+1}{x+y})^{2}=2+2xy-2(xy+1) $
$\Leftrightarrow (x+y-\frac{xy+1}{x+y})^{2}=0 $
$\Leftrightarrow $x+y=\frac{xy+1}{x+y}$
$\Rightarrow (x+y)^{2}=1+xy$ $\sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$
Vì x,y là số hữu tỉ nên $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ