Thực sự thì anh thấy chẳng có cách nào khác ngoài việc luyện tập chăm chỉ đâu @Lemonjuice à. Thi HSG và thi ĐH đòi hỏi những kĩ năng làm bài khác nhau, nhất là khi bây giờ thi ĐH phải thi trắc nghiệm. Em thấy khó khăn rất có thể là do em chưa quen với dạng thi này, cứ tập luyện nhiều là được. Mua thêm sách trắc nghiệm về làm, mỗi lần làm có thể bấm giờ chẳng hạn. Tất nhiên là phải nắm vững kiến thức song song với rèn kĩ năng.

 

Anh thì rất phản đối thi Toán bằng trắc nghiệm, vì nó chú trọng hơn vào kĩ năng làm bài chứ không phải là tư duy. Nhưng biết làm sao được.

 

Nhân chủ đề này nhớ lại một chuyện năm 2007 là năm mình thi VMO. Năm đó bộ GD phát động phong trào hai không: không tiêu cực trong thi cử và không bệnh thành tích trong giáo dục. Thế là có một loạt thay đổi trong phong trào thi HSG. Học sinh Olympic không được ưu tiên gì, không tuyển thẳng ĐH, không cộng điểm, không được nghỉ môn phụ để học đội tuyển, v.v..., tóm lại là lúc phát động phong trào thì các trường và học sinh được hiểu là sẽ không được ưu tiên gì cả. Đồng thời thay đổi luôn cách ra đề, thay vì làm hai ngày mỗi ngày 3 bài trong vòng 180ph, thì chỉ thi một ngày làm 7 bài trong 180ph (chắc để tiết kiệm chi phí). Và thế là rụng như sung, cả nước chỉ có tầm 40 bạn đạt giải QG môn Toán, có lẽ vì lúc đó chẳng ai quen với đề thi kiểu này để mà chuẩn bị (những năm sau đó thì đỡ hơn).

Nếu em hiểu Neural Network là gì và hoạt động thế nào thì tự nhiên sẽ biết cách "chơi". Còn nếu em chưa hiểu thì không nên chơi vội, cần học trước để biết về nó trước đã. 

Đang bận tối tăm mặt mũi nhưng cũng gắng tranh thủ lên đăng bài này để chia sẻ với diễn đàn, đặc biệt là các bạn trẻ (có nhiều anh em khác chắc cũng đã biết tin như Nesbit cách đây ít ngày). Việt Nam có nhiều nhà Toán học rất tài năng nhưng có lẽ là công chúng ít được biết đến. Sắp tới sẽ cố gắng chia sẻ thêm những người mà mình biết.  

Anh để ý thấy @Ruka áp dụng sai vào một bài khác, không biết bây giờ em đã hiểu rõ chưa, nếu chưa thì anh có thể giải thích kĩ thêm.

May quá, cảm ơn @Nxb đã sửa. Lần sau dịch anh sẽ giữ nguyên từ gốc nếu không chắc chắn, rồi nhờ anh em bổ sung thêm, như thế sẽ an toàn hơn.

Viện Hàn lâm Khoa học và Văn học Na Uy vừa trao Giải thưởng Abel 2023 cho Luis A. Caffarelli (Đại học Texas ở Austin, Mỹ) vì những đóng góp quan trọng của ông cho lý thuyết chính quy (regularity theory) cho các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, bao gồm các bài toán biên tự do và phương trình Monge-Ampère.

 

 

 

Các phương trình đạo hàm riêng phát sinh một cách tự nhiên như các quy luật tự nhiên, cho dù để mô tả dòng chảy của nước hay sự phát triển của dân số. Những phương trình này luôn là đề tài nghiên cứu sôi nổi kể từ thời của Newton và Leibniz. Tuy nhiên, bất chấp những nỗ lực đáng kể của các nhà toán học trong nhiều thế kỷ, những câu hỏi cơ bản liên quan đến tính ổn định hoặc thậm chí tính duy nhất, sự xuất hiện và loại điểm kỳ dị của một số phương trình chính vẫn chưa được giải quyết.

Trong khoảng thời gian hơn 40 năm, Luis Caffarelli đã có những đóng góp đột phá trong lý thuyết chính quy (tức là việc loại trừ hoặc mô tả các điểm kỳ dị). Lý thuyết chính quy nắm bắt các đặc điểm định tính chính của các lời giải ngoài thiết lập giải tích hàm ban đầu. Điều này rất quan trọng cho việc mô hình hóa (ví dụ, liệu giả định về các trường biến đổi vĩ mô có tự nhất quán không?), đồng thời cung cấp thêm thông tin về các chiến lược rời rạc hóa và do đó rất quan trọng để đạt được mô phỏng số hiệu quả và đáng tin cậy. Các định lý của Caffarelli đã thay đổi hoàn toàn hiểu biết của chúng ta về các lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến với nhiều ứng dụng. Các kết quả đi vào cốt lõi của vấn đề, các kỹ thuật đồng thời thể hiện sự điêu luyện và đơn giản, đồng thời bao hàm nhiều lĩnh vực toán học khác nhau và các ứng dụng của nó.

 

Mời các bạn đọc toàn bộ bài viết gốc bằng tiếng Anh ở đây: https://abelprize.no...luis-caffarelli

Cảm ơn vutuanhien. Đó đúng là cách kinh điển được trình bày trong nhiều sách (có tác giả dùng $V_n = X\setminus U_n$ thay vì $U_n$ như ở trên, cũng tương đương nhau cả). Cách này cũng rất tự nhiên vì tìm cách xây dựng một phủ mở hữu hạn theo định nghĩa của tập compact.

 

Cách của anh dùng một tính chất "khác" của tập compact đó là mọi dãy trong $X$ tồn tại một dãy con hội tụ trong $X$.

 

Đặt $g_n = f_n-f$ như trên thì ta cần chứng minh $g_n$ hội tụ đều về $0$, nghĩa là $M_n\to 0$ với $M_n = \sup_{x\in X}|g_n(x)|$. Vì $X$ compact nên $\sup$ có thể đạt được, tức là tồn tại $x_n\in X$ sao cho $M_n = |g_n(x_n)|$. Vì $g_n\ge g_{n+1}$ và $g_n\to 0$ nên ta có $g_n\ge g_{n+1}\ge 0\forall n$. Lấy $\sup$ ta được $M_n\ge M_{n+1}\ge 0$, nghĩa là $(M_n)$ là một dãy giảm bị chặn dưới bởi $0$, nên nó có giới hạn $L\ge 0$. Ta cần chứng minh $L=0$.

 

Từ đây trở đi ta chỉ cần làm việc với một dãy con hội tụ $(x_k)_{k\in I}$ của $(x_n)$ (để cho đơn giản ta không cần viết rõ $k\in I$). Giả sử $x_k\to x^*\in X$. Với mọi $\epsilon > 0$, vì $g_n\searrow 0$ nên tồn tại $N$ sao cho $0\le g_N(x^*)\le \epsilon$. Vì $x_k\to x^*$ và $g_N$ liên tục nên tồn tại $p\ge N$ sao cho $|g_N(x_p) - g_N(x^*)| \le \epsilon$. Thế thì $g_N(x_p) \le g_N(x^*)+\epsilon \le 2\epsilon$. Do $g_N\ge g_p$ nên $g_N(x_p) \ge g_p(x_p) = M_p \ge L$. Vậy $L \le 2\epsilon$. Điều này đúng với mọi $\epsilon > 0$ nên $L=0$.

 

Hi vọng không có chỗ nào sai. Ở trên tính compact của $X$ được sử dụng thêm ở chỗ lấy $\sup$ (ngoài chỗ lấy dãy con hội tụ), nhưng thực ra không cần thiết. Ở bước này không cần $\sup$ phải đạt được mà chỉ cần lấy $x_n$ sao cho $g_n(x_n) \ge M_n - \epsilon$.

Cho $X$ compact trong một không gian metric và $(f_n)_{n\ge 1}$ là một dãy các hàm số thực liên tục trên $X$, $f_n\to f$ trên $X$ với $f$ liên tục trên $X$, đồng thời $f_n(x) \ge f_{n+1}(x) \forall x\in X,\forall n$. Chứng minh rằng $f\to f_n$ đều (converges uniformly) trên $X$.

 

Đây là một định lý khá quen thuộc trong giải tích, mình đang ôn lại vài kiến thức cũ nên tình cờ thấy nó. Cách chứng minh của mình khác với trong sách nên thấy có chút thú vị, đăng lên đây để anh em cùng thảo luận, tập chút thể dục đầu tuần cũng hay.

Cách đây vài năm có đọc một số báo Toán học & Tuổi trẻ, trong đó có bài viết hình như của thầy Lê Văn Thiêm bình luận về bài thi HSG Toán của thầy Ngô Việt Trung, hình như tựa đề là "Nhận xét về bài làm của em Ngô Việt Trung". Tìm lại thì không thấy đâu, bạn nào biết xin chỉ giúp.

Thông tin về giải thưởng Tạ Quang Bửu 2022

 

 

Bài viết rất hay! Tuy mấy đoạn technical không hiểu gì nhưng đọc những phần bình luận của GS Lê Tuấn Hoa cũng biết được tầm vóc các công trình của GS Ngô Việt Trung. Anh xin phép chỉnh lại bài viết của Nxb để đăng nguyên bài báo lên luôn để còn đưa ra trang chủ và share trên FB.

 

Có một số đoạn sau đây trong bài viết có thể tạo "cảm hứng" thảo luận cho những anh em nào đang làm nghiên cứu.

 

Kỹ thuật chứng minh cần những kiến thức sâu sắc trong Đại số giao hoán và sự kết hợp tài tình với những tính toán tổ hợp phức tạp, cũng như vận dụng thành thạo qui hoạch nguyên – một chuyên ngành có vẻ khá xa Đại số giao hoán. Chính vì vậy mà công trình đã được nhận đăng trong tạp chí Inventiones Mathematicae. Đây là một trong 2-3 tạp chí có uy tín nhất trong Toán học. Đây cũng là lần đầu tiên có một công trình thuần Việt được đăng trong một tạp chí lớn như vậy. Hoàn toàn thuần Việt theo nghĩa: cả hai tác giả đều là người Việt Nam và từ khi hình thành đến khi kết thúc, hoàn toàn được thực hiện trong nước. Nó còn đặc biệt ở chỗ, hiếm lắm mới có bài báo chuyên ngành Đại số giao hoán được đăng trên tạp chí Annals of Mathematics hay tạp chí Inventiones Mathematicae nêu trên.

 

Top 3 tạp chí theo GS Hoa là Annals of Mathematics, Inventiones Mathematicae, và tạp chí còn lại là gì ấy nhỉ? Acta Mathematica chăng?

 

 

Đó chỉ là vài trong số nhiều kết quả khác của ông được nhiều nhà toán học quan tâm. Tuy nhiên, trước khi có bài báo ở tạp chí đỉnh cao, không có gì chắc chắn để khẳng định trước sau ông cũng sẽ có bài đăng ở đó. Xét về góc độ này thì việc có được bài đăng ở đấy như là một sự ngẫu nhiên, hay chí ít là một sự gặp may. Nhưng nếu xét từ cả quá trình làm việc và công bố đồ sộ của ông thì lại có dáng dấp như một qui luật. Chí ít thì có thể khẳng định: trong số người nghiên cứu Đại số ở Việt Nam, nếu có ai đó đăng được bài ở một trong hai tạp chỉ đỉnh cao nói trên, thì người đầu tiên phải là ông! (Trước ông, năm 1976 có giáo sư Nguyễn Hữu Anh có bài đăng ở Annals of Mathematics, khi làm việc ở Mỹ).

 

 

Thực ra, giáo sư Ngô Việt Trung là người thể hiện có năng khiếu Toán học rất sớm. Ông là người đã đạt Giải Nhất lớp 10 kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc về Toán. Thời đó, kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc chỉ tổ chức cho Toán và Văn, trao rất ít giải, kể cả giải khuyến khích thường không quá 10, và nhiều năm không trao giải Nhất (trước năm 1975, tôi chưa từng nghe có năm nào trao hai giải nhất và tôi nghĩ là không). Do vậy, những người đạt giải khi đó được các bạn cùng trang lứa nhớ tên rất lâu. Rất may là thời đó thông tin không nhiều như bây giờ, nên người ta biết đến tên tuổi ông như một nhà khoa học thành đạt, chứ không phải nhờ dư âm từ thời học sinh!

Chưa có thời gian xem video ở trên, nhưng nhắc tới tricks thì anh có nhớ hồi nhỏ tầm 5-6 tuổi gì đấy có ông anh trong xóm tính nhẩm rất nhanh, nhân hai số có 4 hay 5 chữ số gì đấy nhanh hơn cả anh bấm máy tính (ngồi bấm đua với ổng luôn ). Giờ thì Google phát là ra trick nhưng mà hồi đó thì ấn tượng thực sự.

Có vẻ như đổi biến $z=y-1$ thì sẽ gọn gàng hơn đấy nhỉ.

Bạn thử liên hệ với thầy @vutuanhien xem sao nhé. Cũng nên trình bày rõ mục tiêu của mình nữa, vì học để lấy lại căn bản và học để thi Olympic sinh viên (chẳng hạn) thì yêu cầu khác xa nhau.

Bài đã cũ nhưng hôm nay ngồi lướt diễn đàn mới thấy, vào check thì thấy là năm nay còn có học bổng cho post-doc nữa.

 

Nghĩ lại thì cũng nhờ cái huy chương Fields của anh Ngô Bảo Châu mà chính phủ mới đầu tư hơn cho ngành Toán, thậm chí đưa việc phát triển Toán học trở thành một chương trình trọng điểm của quốc gia. Còn về phía doanh nghiệp thì thực ra là nhờ trào lưu Data Science của thế giới, và may sao VinGroup lại mời đúng anh Vũ Hà Văn về làm viện trưởng nên thành ra anh em ngành Toán được hưởng sái theo nhờ anh ấy   Hai người có thể nói là hai ngôi sao sáng nhất từ trước tới nay của Việt Nam trên bầu trời quốc tế, một bên Toán lý thuyết, một bên Toán ứng dụng, quá đẹp.

Tuyệt vời! Cảm ơn nmlinh16 đã chia sẻ. 

Mới lướt sơ qua thì thấy khá dễ đọc. Đặc biệt thích các hình vẽ, rất cute , tác giả rất có tâm.

 

Hôm nào sẽ gắng dành thời gian đọc hết rồi comment, chỉ có nhận xét nhỏ chút xíu ở Section 1:

 

Đối với các không gian tô pô thông thường (chẳng hạn, trong toàn bộ ghi chú này), ta sẽ hiểu một cách không chính thức rằng một tập con $U\subset X$ là một lân cận của $x$ nếu $x\in U$ và ta có thể "di chuyển" một cách tự do theo tất cả các hướng xung quanh $x$ một khoảng đủ nhỏ sao cho vẫn nằm trong $U$.

Đoạn này không hiểu vì sao nmlinh16 không đưa ra formal definition cho "lân cận" luôn nhỉ ($U$ là lân cận của $x$ nếu tồn tại một tập mở $V$ sao cho $x\in V\subset U$)? Chưa đọc hết nên không biết là "lân cận" được dùng nhiều ở phần sau của bài viết không, nhưng nếu có định nghĩa formal thì các lập luận sẽ chặt chẽ hơn vì định nghĩa "không chính thức" ở trên chỉ là intuition thôi và không thể dùng để thay thế được (vì khi đó phải định nghĩa thêm thế nào là "di chuyển theo các hướng" và thế nào là "một khoảng đủ nhỏ", và không hiểu là với không gian topo tổng quát thì phải định nghĩa các khái niệm này thế nào cho đúng). (Đoạn sau xem như là giải thích thêm cho các bạn chưa học thôi vì tất nhiên nmlinh16 và anh xem box Toán học Hiện đại đã biết quá rõ.)

Gợi ý là bạn chỉ cần vẽ đồ thị ra là nhìn ngay được đó là những điểm nào.

Cảm ơn @Ruka, anh đã sửa rồi nhé.

Bạn có thể hiểu $\frac{d}{dx}$ là phép lấy đạo hàm, nghĩa là $\frac{d}{dx}f$ và $f'$ là như nhau. Về cơ bản thì cả hai định lý trên đều mang cùng ý nghĩa, tuy nhiên như phát biểu ở trên thì không được chặt chẽ cho lắm. Ở định lý 2 thì cần thêm "với mọi $x$ thuộc $J$", còn định lý 1 thì nên thêm câu "thì $f+g$ cũng khả vi", đồng thời có lẽ là nên viết

$$\frac{d}{dx}(f+g) = \frac{d}{dx}f + \frac{d}{dx}g.$$

 

Tốt nhất là nên phát biểu định lý tại một điểm nào đó bởi vì khả vi vốn dĩ là tính chất địa phương:

 

Nếu $f$ và $g$ khả vi tại $x_0$ thì $f+g$ cũng khả vi tại $x_0$ và 

\begin{equation}\frac{d}{dx}(f+g)(x_0) = \frac{d}{dx}f(x_0) + \frac{d}{dx}g(x_0).\end{equation}

Hay viết theo cách khác:

\begin{equation}(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0).\end{equation}

Lưu ý ở phương trình thứ nhất, ta lấy giá trị của đạo hàm tại $x_0$ chứ không phải của hàm, để rõ hơn thì có thể viết:

$$\left(\frac{d}{dx}(f+g)\right)(x_0) = \left(\frac{d}{dx}f\right)(x_0) + \left(\frac{d}{dx}g\right)(x_0).$$

Bạn tham khảo thêm chủ đề này: Định nghĩa hàm khả vi

Giải thưởng Abel 2024 được trao cho Michel Talagrand. Các bạn có thể xem thông báo ở trang https://abelprize.no...-laureates/2024. Xin trích dẫn lại bên dưới, kèm theo một video phỏng vấn của CNRS. 

 

The development of probability theory was originally motivated by problems that arose in the context of gambling or assessing risks. It has now become apparent that a thorough understanding of random phenomena is essential in today's world. For example, random algorithms underpin our weather forecast and large language models. In our quest for miniaturisation, we must consider effects like the random nature of impurities in crystals, thermal fluctuations in electric circuits, and decoherence of quantum computers. Talagrand has tackled many fundamental questions arising at the core of our mathematical description of such phenomena.

One of the threads running through Talagrand's work is to understand geometric properties of a high-dimensional phenomenon and to crystallise this into sharp estimates with broad scopes of applicability. This led him to obtain many influential inequalities. For instance, Talagrand derived powerful quantitative results to prove the sharp threshold phenomena that often appear in the study of phase transitions in statistical mechanics. He also obtained a useful inequality bounding the quadratic "từ cấm" cost distance between a probability measure and a Gaussian distribution by their relative entropy.

Much of Talagrand's work concerns the geometry of stochastic processes. A classical problem going back to Kolmogorov – arising for instance when one wants to analyse regularity properties of stochastic processes – is to estimate the supremum of a large collection of correlated random variables. Building on the works of Fernique and Dudley, Talagrand developed his theory of generic chaining, which provides sharp upper and lower bounds on the expectation of suprema of Gaussian processes. This illuminated the mysterious connection between the distance function (on the underlying index set) determined by the covariance of the process and the expectation of its supremum.

A key result in probability theory is the law of large numbers asserting that the normalised sum of independent random variables converges towards its mean. This normalised sum is therefore concentrated, using the terminology coined in the early work of Milman, or self-averaging, using physics terminology. It was gradually realised that concentration is ubiquitous, since many random variables defined as functions of a large number of independent random variables appeared to be close to their mean with high probability. In an amazing tour de force, Talagrand provided quantitative versions of this phenomenon that hold in great generality, including the case of discrete random variables. This result applies to functions of independent variables that are Lipschitz with respect to the Euclidean metric and convex, yielding one of several celebrated "Talagrand inequalities." It laid the groundwork for a non-asymptotic theory of independence applicable to high-dimensional statistical problems.

Since the works of Edwards and Anderson, physicists have been fascinated by the complex behaviour exhibited by disordered systems, which describe phenomena like magnetisation in the presence of impurities, and more recently also the energy landscapes arising in machine learning. In 1980, Parisi (Nobel Prize in Physics, 2021) proposed an expression for the free energy of one of the simplest models of this type, namely the Sherrington–Kirkpatrick model. Guerra showed rigorously that this formula is an upper bound for the free energy. In a groundbreaking article, Talagrand proved the complementary lower bound, hence completing the proof of the Parisi formula. This provided the foundation for the development of a mathematical theory of spin glasses and its applications in statistical learning.

Talagrand also obtained a rich variety of important results in measure theory and functional analysis. To cite only the most recent one, he answered a longstanding question by von Neumann and Maharam in the negative by showing that there exist submeasures which are exhaustive, but are not absolutely continuous with respect to any finitely additive measure. This fact implies the existence of radically new Boolean algebras.

Talagrand is an exceptionally prolific mathematician whose work has transformed probability theory, functional analysis, and statistics. His research is characterised by a desire to understand interesting problems at their most fundamental level, building new mathematical theories along the way. He disseminated many of his insights in the form of very influential research monographs. Combining technical virtuosity with deep analytical and geometric insights to construct new powerful tools and answer longstanding hard questions, Michel Talagrand has had and continues to have an enormous impact on mathematics and its applications.

 

 

Video phỏng vấn của CNRS:

 

https://www.youtube....Fb9bWxhtfzqGdHg

Cho dãy hàm số phức $(f_n)$ bị chặn trên tập đếm được $X$. Chứng minh tồn tại một dãy con $(f_k)_{k\in I}$ ($I \subset \mathbb{N}$) sao cho $(f_k(x))_{k\in I}$ hội tụ với mọi $x\in X$.

ICM 2022 sẽ diễn ra vào ngày 6-14 tháng 7 năm 2022 dưới hình thức virtual conference. Lúc đầu ICM 2022 được dự định tổ chức tại thành phố Saint Petersburg của Nga, nhưng chỉ hai ngày sau khi Nga xâm lược Ukraine (24/02) thì Hội Toán học Thế giới đã ra thông báo tổ chức ICM online, và hoàn toàn miễn phí. Các bạn có thể đăng ký tại đây: https://www.mathunio...rtual-icm-2022 

[Nhân có bạn nhắc đến giả thuyết về các số nguyên tố sinh đôi, xin chia sẻ một bài viết gần đây của GS. Vũ Hà Văn viết trên blog vào dịp James Maynard nhận được Huy chương Fields năm nay. Giọng văn của giáo sư vẫn hài hước như mọi khi, đặc biệt là phần chốt hạ bằng hai câu thơ lục bát.]

 

 

 

 

Nhà toán học thứ hai được giải Fields năm nay là anh J. Maynard, vỡi những công trình về số nguyên tố. 

 

Số nguyên tố có lẽ là một trong những chủ đề lâu đời nhất và được chú ý tới nhất trong toán học. Các nhà hiền triết Hy lập đáng kính đã nguyên cứu về nó, từ trước khi chúa Jesu ra đời. Rất có thể là trước cả khi Mỵ nương cưới Sơn tinh. 

 

Số nguyên tố là những số nguyên dương chỉ chia hết đươc cho chính nó. Ví dụ như 5; 6 không phải là số nguyên tố vì nó chia hết cho 2. Các số nguyên tố nhỏ nhất là 2,3,5,7,11,13,17,19, 23,29, 31, 37….Số 1, thấp cổ bé họng, không được vào hội. Thật ra lý do sâu xa hơn là vì một định lý, xưa như quả đất, là tất cả các số nguyên dương đều có thể viết dưới dạng tích của một số nguyên tố, ví dụ như 6=2 nhân 3. Ai cũng biết là nhân với 1 thì chả thêm vị gì, nên chàng đã bị loại. 

 

Từ thời Napoleon, người ta đã biết là có vô hạn số nguyên tố. Tức cái dãy 2,3,5…ở trên nó sẽ kéo dài vô hạn. Một trong những câu hỏi nổi tiếng và trung tâm nhất của toán học, là cái sự kéo dài đó nó diễn ra như thế nào. Chẳng hạn bạn thấy ở trên có tới 8 số nguyên tố giưã 1 và 20, nhưng giữa 21 và 40 chỉ còn 4 số. Tức tần suất xuất hiện của số nguyên tố ngày một giảm đi. Cũng như số lần hẹn hò của các cặp vợ chồng trẻ, theo thời gian. Nhưng giảm đi như thế nào ? Trong cả hai trường hợp, bài toán đều chưa có lời giải hoàn chỉnh. 

 

Nói cho chính xác hơn, chúng ta biết khá nhiều về câu hỏi thứ nhất. Định luật phân bố của số nguyên tố, một trong nhưng công trình nổi tiếng nhất của toán học, nói rằng trong N số nguyên dương đầu tiên có chừng f(N)= N/log N số nguyên tố, với N đủ lớn. “Có chừng” ở đây có nghĩa là công thức này có sai số, tạm goi là x(N), nhưng sai số x(N) này nhỏ so với f(N). Chính xác là x(N)/ f(N) tiến đến 0 khi N tiến ra vô cùng. Đinh luật này được hai nhà toán học Hadamard và de la Vallle Paussin chứng minh (độc lâp với nhau) trong cùng một năm (1896), dựa trên một số ý tưởng đột phá của Riemann, tìm ra chừng 30 năm trước đó. Sau chứng minh này, có rất nhiều chứng minh khác được tìm ra. Nổi tiếng nhất có lẽ là chứng minh của Erdos và Selberg (1949). Thật thà mà nói, đây không phải chứng minh hay nhât hay ngắn nhất, nhưng câu chuyện xảy ra giữa hai cụ này là một chương rất đặc biệt trong lịch sử toán học. Ngoài ra công trình này đóng vai trò khá quan trọng trong giải thưởng Fields của Selberg (1950). 

 

Câu hỏi tiếp theo sẽ là cái sai số x(N) là bao nhiêu, hay nói cách khác, x(N)/f(N) tiến đến 0 nhanh thế nào cùng với N. Giả thiết Riemann, giả thiết nổi tiếng nhất trong toán hiện đại, nếu đúng, sẽ cho ta một câu trả lời chính xác. Giả thiết này là một trong những bài toán triệu đô. Theo sự đánh giá của mình, với tốc độ lạm phát hiện tại, thì đến ngày một nhà toán học xuất chúng giải quyết giả thiết Riemann, rất có thể triệu đô sẽ chỉ mua được 5 cân gạo và 3 con gà. An ủi ở đây là cả 3 và 5 đều là số nguyên tố. 

 

Lan man mãi, ta phải quay lại anh Maynard. Gà và gạo được chọn, vì chúng là những thứ rất thân quen với người Việt chúng ta. Nhưng 3 và 5, thì là vì chúng đặt biệt. Hai số này là một cặp nguyên tố “sinh đôi”. 

 

Trẻ con sinh đôi sẽ ra đời sau nhau vài phút. Số nguyên tố “sinh đôi” nếu chúng cách nhau càng ít càng tốt. Trừ cặp 2,3 đáng ghét, khoảng cách giữa hai số nguyên tố phải ít nhất là 2, bởi sau số 2 tất cả các số nguyên tố phải lẻ. Nếu khoảng cách chính xác là 2, thì cặp đó là “sinh đôi”. (Vi dụ 5 và 7 là một cặp sinh đôi khác.) Giả thiết “nguyên tố sinh đôi” (twin prime cọnjecture) nói rằng số cặp nguyên tố là vô hạn. 

 

Giả thiết này cũng vô cùng nổi tiếng, và cũng ôi thôi là khó. Bởi lẽ số nguyên tố, như định lý N/log N ở trên đã nói, ngày càng thưa đi, nghĩa là khoảng cách nói chung phải tăng lên. Thâm chí định lý này nói rằng nếu một số nguyên tố có độ lớn là N, thì khoảng cách đến anh bạn gần nhất của nó, trong phần lớn các trường hợp, sẽ là log N. Giả thiết sinh đôi, bởi vậy, là trái với lẽ thường tình. Nó nói rằng các trường hợp đặc biệt, thậm chí đặc biệt nhất có thể, vẫn xảy ra, và xảy ra vô hạn lần. 

 

Ròng rã nhiều thế kỷ, các nhà toán học căm cụi tìm, hay chứng minh sự tồn tại, của các cặp số nguyên tố mà khoảng cách của chúng nhỏ hơn đáng kể so với trường hợp “thường tình”. Hỡi ơi trời chẳng chiều người, cho đến cách đây 10 năm, kết quả tốt nhất của họ là tìm được những cặp mà log N được thay bằng c log N, trong đó c là một hằng số dương nhỏ bất kỳ với N tiến ra vô cùng. 

 

Chấn động xảy ra năm 2013; nhưng nó lại chẳng phải từ anh Maynard. Chấn động này đến từ Zhang, một nhà toán học gốc Trung quốc, khi anh chứng minh là có vô số cặp số nguyên tố mà khoảng cách giữa chúng nhiều nhất là 70 triêu. 70 triệu nghe có vẻ to, nhưng quan trọng là nó không phụ thuộc vào độ lớn của các số nguyên tố trong cuộc. So với các kết quả trước, nó nhảy vọt khỏi sự mơ ước của các chuyên gia trong cuộc. Thú vị hơn nữa, anh Zhang là tay chơi “nghiêp dư”, theo nghĩa là anh không phải giáo sư của trường đại học nào, và trước đó chả ai biết đến anh cả. Có giai đoạn thất nghiệp, anh còn phải đi bán bánh. Nói nôm na, Lọ lem của toán học đúng là anh. 

 

Đáng tiếc, lúc đó anh Zhang đã gần 60, nên trượt giải Fields. Bù lại anh được khá nhiều giải khác, trong đó có giải McAthur, được coi là giành cho các “thiên tài”. Và anh có job, cố định. 

 

Bây giờ mới đến anh Maynard. Anh bước vào câu chuyện bởi vì khi Zhang đăng công trình của mình và gặt hái vinh quang, Maynard cũng đang trên con đường tiến tới một kết quả tương tự—và lúc đó, mới làm xong luận án tiến sĩ, cũng chả mấy ai biết tới anh hết. 

Thường thì trâu chậm uống nước đục, nhưng Maynard không nản chí, vì phương pháp của anh có chỗ độc đáo, khác với phương pháp của Zhang. Nó đã dẫn tới một kết quả mạnh hơn, đó là cho ngoài việc sinh đôi, ta có thể nghiên cứu sinh ba, sinh bốn, sinh năm vvv. 

 

Sự việc bây giờ đã khá dễ hiểu. Nếu tại thời điểm này, bạn chưa ngủ gật hay chuyển sang xem phim ngôn tình, thì dễ dang đoan được kết quả của Maynard là gì: anh ấy chứng mình rằng với số k cho trước (k=2,3,45,..), có một số c(k) chỉ phụ thuộc vào k, để tồn tại vô số bộ k số nguyên tố, trong đó khoảng cách giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất bị chặn trên bởi c(k). Trong trường hợp k=2, đó là kết quả của Zhang; ngay trong trường hợp này, c(2) của Maynard cũng giảm đáng kể, từ 70 triệu xuống còn đơn vị trăm. Tuy vậy, việc giảm c(2) xuống 2 (the original twin prime cọnjecture) vấn được coi là quá khó với các công cụ hiện có. 

 

Một kêt quả nổi bật khác của Maynard, cũng về khoảng cách giữa hai số gần nhất, nhưng lại liên quan đến chặn trên. Như đã nói ở trên, khoảng cách này trung bình là log N (nếu hai số ta nói đến có độ lớn N). Tìm ra các cặp có khoảng cách nhỏ hơn log N đáng kể đã khó, mà tìm ra các cặp có khoảng cách lớn hơn log N đáng kể cũng khó nốt. Kêt quả của Maynard hịện đang là kỷ lục cho câu hỏi thứ hai. Ta không viết công thức cụ thể ra vì nó khá phức tạp, nhưng các bước kỹ thuật để đi đến kêt quả này cũng rất sáng tạo. 

 

Một điểm thú vị nữa, cả hai kết quả của Maynard được chứng minh cùng một lúc với Terence Tao (và một nhóm đồng nghiệp). Nhà toán học giỏi có nhiều, nhưng điều đáng khâm phục nhất về Terry là anh ấy có thể làm việc cũng một lúc trên 3, 4 lĩnh vực khác nhau, và trên lĩnh vực nào cũng hoặc đối đầu, hoặc cộng tác, với những chuyên gia đầu ngành của lĩnh vực đó, và tạo ra các công trình bậc nhất. Kiểu như bạn vừa chơi bóng đá với Ronaldo trong trận chung kết C1, và vừa đối đầu với Le Bronn James trong play-off của NBA vậy. 

 

May mắn, Tao đã được giải Fields rồi (ngẫu nhiên, đóng góp quan trọng cho giải của Tao cũng là công trình về số nguyên tố, chứng minh sự tồn tại của cấp số cộng có độ dài bất kỳ trong dãy số nguyên tố, làm cùng với Green). Túm lại, những công trình có tính đột phá về số nguyên tố, chẳng những là hay, mà gần như chắc chắn sẽ dẫn tới các giải thưởng to đùng…

 

Vậy có thơ rằng

Working hard, day and night 

Prime cùng với Prize một vần.

Cho $S\subset\mathbb{R}$ thoả mãn: nếu $x\in S$ thì $nx\in S$ với mọi $n\in\mathbb{Z}$. Khi đó:

$$0 \text{ là điểm giới hạn của } S \iff S \text{ trù mật trong }\mathbb{R}.$$

 

Bài này mình đã đăng trong một thảo luận ở box Olympic (thảo luận ở đó cũng khá hay). Vừa mới nhớ ra nên đăng lại vào đây, phù hợp hơn.

 

$\mathbb{Q}$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Với mọi $r$ vô tỉ, $\{m+nr: m,n\in\mathbb{Z}\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Kết quả ở trên khá đẹp nhưng thực ra không quá mạnh (chẳng hạn, nó không suy ra được $\{2^m 3^n: m,n\in\mathbb{Z}\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$). Nếu anh em có hứng thú thì trong topic này chúng ta sẽ cố gắng tìm được tập $S$ tổng quát nhất có thể thoả mãn tính chất ở trên.

Tìm $k$ lớn nhất sao cho

\begin{equation}\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge k\sqrt[7]{a^7+b^7+c^7} \qquad \forall a,b,c > 0.\end{equation}

 

Bài này đẳng thức xảy ra khi $a,b,c$ hoàn toàn khác nhau (và tất nhiên là không có số nào tiến đến $0$). Bài kiểu này chắc sẽ không xuất hiện trong đề thi đâu, nhưng có thể bạn nào có hứng thú thử sức chăng.