Cho 3 số dương nhỏ hơn a;b;c <1 . CMR:
a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)<1

$(1-a)(1-b)(1-c)+abc>0 \Rightarrow đpcm $

1/ cho Tam giác ABC có góc B = 70 độ, góc C =50 độ. Đường cao AH, trung tuyến AM.
Tính góc HAM.

2/ Cho tam giác ABC cân tại A, góc A=20 độ, I là trung điểm của AC.
Tính góc IBC.

Mấy bài toán tính góc này mình học hồi lớp 7.Nói chung mấy bài này thì thường là người ta lấy 1 cạnh đã cho làm cạnh rồi dựng các tam giác vuông cân,tam giác đều,tam giác nửa đều... ,nối linh tinh lại,sau đó tìm các tam giác bằng nhau có liên quan đến góc cân tính....
Có thể tham khảo thêm trong sách "Nâng cao và phát triển toán 7" của Vũ Hữu Bình,trong đó có hẳn 1 chuyên đề về vấn đề này(nếu như mình nhớ không nhầm^^)

Trên mặt mẳng cho 2009 đường thẳng cắt nhau tạo thành m tam giác nhọn. Tìm giá trị lớn nhất của m.

Mò mẫm.....Không biết đúng hay sai
NX: 3 đường thẳng bất kỳ chỉ tạo với nhau tối đa là 1 tam giác.
Ta chứng minh n đường thẳng bất kỳ tạo với nhau không quá $\dfrac{(n-2)(n-1)n}{6} $ tam giác
Thật vậy:với $n=1;2;3;4$ đúng
Giả sử nó đúng với k đường thẳng $d_1,d_2,..,d_k$
Xét 1 đuờng thẳng $d_{k+1}$.Đường thẳng này sẽ cắt tối đa là k đường thẳng còn lại và khi đó số tam giác mới tạo thêm bởi $(d_{n+1};d_i,d_j)$ sẽ là $\dfrac{n(n-1)}{2}$ (điều này dễ thấy vì có $k$ cách chọn $d_i$ và $k-1$ cách chọn $d_j$)
Vậy số tam giác tối đa tạo bởi $k+1$ đường thằng là:
$\dfrac{(k-2)(k-1)k}{6} +\dfrac{k(k-1)}{2}= \dfrac{(k-1)k(k+1)}{6}$ đúng
Áp dụng với $n=2009$-->done

tìm n để $ 3^{1024}-1 \vdots2^n$

Ta chứng minh $a_m=3^^2^m-1$ chia hết cho $2^{m+2}$ nhưng không chia hết cho $2^{m+3}$
Thật vậy,giả sử đúng với $m=k$
$a_{k+1}=(3^^2^k-1)(3^^2^k+1)=a_k.(3^^2^k+1) \vdots (2^{k+2}.2)=2^{k+3}$ nhưng không chia hết cho $2^{k+4}$ do $a_k \not \vdots 2^{n+3}$ và $3^^2^k+1 \not \vdots 4$
Áp dụng với $m=10$ thì n nhận giá trị tư 1 đến 12.
Không hiểu diễn đàn mình gõ lũy thừa tầng cái kiểu gì mà số mũ bị gió thổi bay vù vù thế kia

Ngắn hơn nè !
$ \Leftrightarrow 2{\left( {4x + 2} \right)^2} = \sqrt {2x + 15} + 28$
Đặt $\sqrt {2x + 15} = 4y + 2$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16{y^2} + 16y + 4 = 2x + 15\\ \Leftrightarrow 16{y^2} + 16y = 2x + 11\left( 2 \right)\end{array}$
Từ PT đầu $32{x^2} + 32x = 4y + 22\left( 3 \right)$
$ \Rightarrow \left( 2 \right)\left( 3 \right)$ có hệ :
$\left\{ \begin{array}{l}32{x^2} + 32x = 4y + 22\\16{y^2} + 16y = 2x + 11\end{array} \right.$
Đây là hệ đối xứng nè !

Câu hỏi : Những phương trìhh như thế nào thì làm được như thế này ?

Nhờ các bạn giải giùm với!!!
Tìm Max P= (a-b)⁴+ (b-c)⁴+ (c-a)⁴
Cho a,b,c là các số thực không nhỏ hơn 1 và không lớn hơn 2.

Từ giả thiết suy ra $0 \leq |a-b|,|b-c|,|c-a| \leq 1$
Do đó $P \leq |a-b|+|b-c|+|c-a|$
Không mất tổng quát giả sử $a \geq b,a \geq c$
Khi đó $P \leq 2a-b-c-|b-c|$
+Nếu $b \geq c$ thì $P \leq 2(a-b) \leq 2(2-1)=1$
+Nếu $b \leq c$ tương tự
Vậy $maxP=2$ khi có 2 số bằng 2,1 số bằng 1

Trước tiên sẽ là các bài toán của tháng 5 /2009 và 6/2009 (đã hết hạn gửi bài )

Bài 3 (T4/384) (Trịnh Xuân Tình)Cho $x,y,z$ là các số không âm và thỏa mãn $x+y+z=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=(x+2y+3z)(6x+3y+2z)$

Hơ vẫn còn bài 3 này
$P/2=(x+2y+3z)(3x+ \dfrac{3}{2}y+z) \leq \dfrac{[4(x+z)+ \dfrac{7}{2}y]^2 }{4}=\dfrac{(4-\dfrac{y}{2})^2 }{4}\leq 4^2/4=4 $
do $y \geq 0$
$\Rightarrow P \leq 8 $

Cho x,y,z nguyên dương, nguyên ttố cùng nhau và 1/x+1/y=1/z
hỏi x+y có phải là số chính phương hok?

$z(x+y)=xy \Rightarrow xy \vdots z \Rightarrow z=1 \Rightarrow xy=x+y$
$\Rightarrow \not \exists x,y$
$\Rightarrow x+y$ không CP
Vô lý chỗ nào không nhỉ
p/s: title kêu như chuông

Sorry , đọc đề cứ nghĩ (x;y)=(y;z)=(z;x)=1
Hóa ra là (x;y;z)=1 à

Chứng minh rằng
a=0,123456789......( sau dấu phẩy là các số tự nhiên liên tiếp ) là một số vô tỉ

Bài này có ở đâu đó trên diễn đàn rùi
Sơ sơ là thế này:Giả sử số đó có dạng 0,a(b) với chu kì b gồm k chữ số
Xét số $10^{2k}$ có trong phần thập phân ấy=> phần thập phân gồm toàn các chữ số 0->vô lý

Cho d,e,f nguyên thỏa mãn: $d+e\sqrt[3]{2}+f\sqrt[3]{4}=0$
CMR: d=e=f=0

Chỉ cần d,e,f hữu tỉ là OK!
Làm thế này:
$d+e\sqrt[3]{2}+f\sqrt[3]{4}=0 \Rightarrow (d+e\sqrt[3]{2}+f\sqrt[3]{4})(f\sqrt[3]{2}-e)=0$
$\Rightarrow (df-e^2)\sqrt[3]{2}=de-2f^2$
$\Rightarrow df-e^2=de-2f^2=0$
....

Tìm nghiệm nguyên dưong của pt: $x^2-y^3=7$ Mình post bên phần phưong trình mà kô thấy ai trả lời hết các bạn giải hộ mình.

$x^2+1=y^3+8=(y+2)(y^2-2y+4)$
Vì $x^2+1$ chia $4$ dư $1$ hoặc $2$ nên y bắt buộc phải chia $4$ dư $1$(bạn tự c/m).
Suy ra $y+2$ chia $4$ dư $3$,do đó $y^3+8$ luôn có 1 ước nguyên tố dạng $4k+3$.
$\Rightarrow x^2+1 \vdots 4k+3\Rightarrow 1 \vdots 4k+3$
vô lý
PT vô nghiệm.

<spam>Nếu bạn muốn lời giải gọn nhất thì hãy xem trong TTT tháng sau.Còn bài này chưa hết hạn gửi,bạn không nên post lên đây như vậy.

Mấy anh ơi, em lớp 9, mún bik nhiều về phần nguyên và phương pháp, em nghe nói TTT có chuyên đề jì về phần nguyên hay lắm nhưng em ko đặt báo, anh nào có kinh nghiệm truyền thụ cho em nha )Em sắp thi òi
có ebooks càng tốt ạ

Bạn tìm trong quyển số của bộ sách ĐHSP ý,có hẳn 1 chuyên đề về cái này.Trong TTT cũng chỉ có 1 số VD xoay kĩ về 1 dạng bài trong đó thui.
Nói thật là vô cùng đau sốt với cái thể loại phần nguyên này

giải PT nghiệm nguyên dương: $2(y+z)=xyz-x$

Với $x=1$ thì $2(y+z)=yz-1$ giải bình thường
Với $x \geq 2$ thì $2(y+z) \geq 2yz-2 \Rightarrow (y-1)(z-1) \leq 2$
mà nó lại nguyên dương...

cho n là số tự nhiên .Tìm n sao cho :$n^{2}+n+2 \vdots 2005$

$n^{2}+n+2 \not \vdots 5 \forall n \in N$ nên $\not \exists n$
Còn bài bên trên là đề thi KHTN năm nào đấy ,xét số dư của 1 số CP cho 17 là OK!

giải PT nghiệm nguyên : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$

Ông anh này tự sướng à
Bài trên thì cóa thể làm như vầy:
+Nếu $x^2y^2$ lẻ thì $z^2$ lẻ
=> VT chia 4 dư 3,Vp chia 4 dư 1=>vô no
+Nếu $x^2y^2$ chẵn ,giả sử x chẵn thì $y^2+z^2 \vdots 4 \Rightarrow y \vdots 2,z \vdots 2$
Tới đây xuống thang,pt có nghiệm duy nhất $(0;0;0)$

Giải PT: $\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$

Bài này thì cơ bản roài :
$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+12}-4=(3x-6)+(\sqrt{x^{2}+5}-3)$
$\Leftrightarrow \dfrac{x^2-4}{\sqrt{x^{2}+5}+3} +3(x-2)=\dfrac{x^2-4}{\sqrt{{x^{2}+12}}+4}$
$\Leftrightarrow x=2$ (dễ thấy $x>0$)

1, Giải PT: $\sqrt[5]{x-1} + \sqrt[3]{x+8}=x^{3}+1 $

Không có ai giải thì đề nghị chú tự sướng bài 1 cái

Hình như Chuyên Hùng Vương không tham gia...

$\dfrac{1}{5 \sqrt[3]{3}-2 \sqrt[3]{9}+1 }= \dfrac{\sqrt[3]{3}}{(5\sqrt[3]{3}+6)(\sqrt[3]{3}-1)}$
Nhân liên hợp là ok

Hic,nhìn em lại nhớ đến bài này(câu 5 vòng 1 thi vào chuyên hùng vương)

Cho $x,y,z>0 $thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\leq\dfrac{3}{2}$
Bài này thì đặt kiểu gì nhỉ?

Bài 1: Cho ma trận
$A=\begin{bmatrix} 1 & x &..& x^{n-1} & x^n\\ x & x^2 &..& x^{n} & 1 \\ ...\\ x^n & 1& ...& x^{n-2} & x^{n-1} \end{bmatrix}$
Tính $det(A)$

Bài 2: Cho ma trận
$A=\begin{bmatrix}
1&2&3&m\\ 1&m&2&3 \\ 1&2&m&3\\m&1&2&3 \end{bmatrix}$
Biện luận $r(A)$ theo m.

Bài 3: Tính giá trị lớn nhất của định thức cấp 5 chỉ nhận các phần tử $1$ và $-1$.

Bài 4:
Tính $\begin{bmatrix}a&1&0\\ 0&a&1 \\ 0&0&a\end{bmatrix}^{100}$

Bài 1: Giải phương trình:
$7^x+5^x=8^x+4^x$

Bài 2: Cho hàm số $f(x),g(x)$ liên tục trên $[a,b]$ và số $\alpha$ thỏa mãn
$\dfrac{f(x)}{g(x)}>\alpha \forall x\in[a,b]$
CMR: $\dfrac{f(x)}{g(x)}\geq \alpha+1 \forall x\in[a,b] $

ps: bài 2 có thể mình ko nhớ chính xác đề

Nhưng tại sao dùng nó để phân tích bài này thì lại không được?
$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)-3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(ab+bc+ca)$
Cho $a=b$ : $3a^2c^2(a-c)^2$
..Tính được $S_a= \dfrac{3}{2}b^2c^2$...
Cuối cùng bấm máy-->sai
Ai giải thích giùm.
Hay mình tính sai nhỉ?