Quên mất topic này. Không thể để nó chết thế này được.
Xin góp một bài cho anh Thành.
Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$

Xét hàm số: $f\left( x \right) = {a^x} + {a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
Có $f'\left( x \right) = {a^x}\ln a - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}\ln a$
$$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {a^x} = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}$$
$$\Leftrightarrow a^{x-\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} $$
$$\Leftrightarrow log_{a}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=x-\sqrt{1-x^{2}}$$
$$\Leftrightarrow log_{a}x-log_{a}\sqrt{1-x^{2}}=x-\sqrt{1-x^{2}}$$
$$ \Leftrightarrow lo{g_a}x - x = lo{g_a}\sqrt {1 - {x^2}} - \sqrt {1 - {x^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
+$ 0< a< 1$, $ f(t)=log_{a}t-t$ ($0< t< 1$)

Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.lna}-1 < 0$

$\Rightarrow$ Hàm nghịch biến

$ \Rightarrow x= \sqrt{1-x^{2}}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

+$1< a\leq e $, $f(t)=log_{a}t-t$ ($0< t< 1$)

Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.lna}-1 > 0$

$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến

$\Rightarrow x= \sqrt{1-x^{2}}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$+a\in (e;+\infty )$
-Xét $f(x)=log_{a}x-x $($0< x< 1$)
$f'(x)=\dfrac{1}{x.lna}-1$
$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{lna}$
Khi đó có $f_{CĐ}=a^{\dfrac{1}{lna}}+a^{\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}}}$
-Mặt khác: $f(\sqrt{1-x^{2}})=log_{a}\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}$ ($0< x< 1$)
$f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}.lna}+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow $$ x=0$ (loại) hoặc $x=\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}} $
$f_{CT}=a^{\dfrac{1}{lna}}+a^{\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}}}$
Để pt(1) có nghiệm $\Rightarrow \dfrac{1}{lna}=\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}} $
$\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy giải pt f'(x)=0 ta tìm được nghiệm $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Từ đó có:
$f(0)=1+a$
$f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2a^{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
$f(1)=1+a$
Vẽ BBT và dựa vào từng trường hợp của a, ta tìm được Max, Min của hàm số.
p/s: Em làm vậy không biết có được không. Thấy bài này lâu quá rùi mà không có ai vào thảo luân.

Có $ab+bc+ca+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
Áp dụng AM_GM được:
$\leq ab+bc+ca+a^{3}+b^{3}+c^{3}$
$=ab+bc+ca+(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca))+3abc$
$=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc$
$\leq 3(a+b+c)^{2}-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$
$=27-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3} $
$=\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}-24(ab+bc+ca)+81}{3} $
$=\dfrac{(ab+bc+ca-12)^{2}}{3}-21$
$\leq\dfrac{(\dfrac{(a+b+c)^{2}}{3}-12)^{2}}{3}-21=6$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

BÀi 94:Chứng minh với mọi a,b,c dương ta luôn có:
$(a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ca}{b})(c+\dfrac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

Giả sử: $(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=8$
$\Rightarrow abc\leq 1\Rightarrow \dfrac{1}{abc}\geq 1$
BDT cần chứng minh tương đương với:
$(a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ac}{b})(c+\dfrac{ab}{c})\geq 8$
Có: $(a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ac}{b})(c+\dfrac{ab}{c})$
$\geq (a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ac}{b})(c+\dfrac{ab}{c}).\dfrac{1}{abc}$
Áp dụng BDT Holder có: $\geq (\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ac}{b}.\dfrac{ab}{c}})^{3}.\dfrac{1}{abc}$ $=\dfrac{(2\sqrt[3]{abc})^{3}}{abc}=8$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của:
$$T=\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}$$
Bài này là đề thi Olympic Canada 2008 nhưng cũng được lấy làm đề thi thử đại học của một số trường các bạn làm thử

Có: $T=\dfrac{a-bc}{a+bc}+\dfrac{b-ac}{b+ac}+\dfrac{c-ba}{c+ba}$
$=3-2(\dfrac{bc}{a+bc}+\dfrac{ac}{b+ac}+\dfrac{ba}{c+ba})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc+(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)^{2}-2(a^{2}bc+ab^{2}c)+abc^{2})})$
$=3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{ab.ac+ab.bc+ac.bc+(ab+bc+ca)^{2}})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}+(ab+bc+ca)^{2}}) =\dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Từ pt2 có: $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &y=x(2y-1) \\ & x=y(2x-1) \end{matrix}$
Thay vào pt1 có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Mà theo BDT AM_GM có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}\geq 2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Dấu "=" xảy ra khi $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}=(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y+3)=0$
$\Leftrightarrow x=y=1 (x;y\geq \dfrac{1}{2})$
p/s: Mod vào sửa dùm mình cái lỗi này với. mình sửa hoài không được

Có $\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^{2}+b^{2}}$
$=\dfrac{4}{2ab}+\dfrac{4}{a^{2}+b^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}$
$\geq \dfrac{(2+2)^{2}}{2ab+a^{2}+b^{2}}-\dfrac{2}{(a+b)^{2}}=16$ (Áp dụng Cauchy_schawrtz) (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0.5

Đặt $y=\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x} $ với $x\in \begin{bmatrix} -7;11\end{bmatrix}$
Có $ y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+7}}-\dfrac{1}{2\sqrt{11-x}}$
Nên $ y'=0\Leftrightarrow \sqrt{11-x}=\sqrt{x+7}\Leftrightarrow x=2$ và y' không xác định tại x=-7 và x=-11
Vẽ BBT có $\sqrt{18}\leq y\leq 6$
$\Rightarrow \int_{-7}^{11}\sqrt{18}dx\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq \int_{-7}^{11}6dx$
$\Leftrightarrow 54\sqrt{2}\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq 108 $ (Đ.P.C.M)
Đẳng thức xảy ra khi $x\in (-7;2;11)$
p/s: Em không biết vẽ BBT. Anh Thành vẽ giúp em ha. Thanks anh.

Gọi số đất người vợ lớn nhận được là a
số đất người con thứ nhất nhận được là b
số đất người con thứ hai nhận được là c
số đất người con thứ 3 nhận được là d
số đất người con cuối cùng nhận được là e
Theo giả thiêt có:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}; \dfrac{c}{b}=\dfrac{4}{5} ; \dfrac{d}{c}=\dfrac{6}{7}; \dfrac{e}=\dfrac{3}{4}$
Và $a+b+c+d+e=50$
Vì b khác 0, ta chia 2 vế cho b được: $\dfrac{a}{b}+1+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{b}+\dfrac{e}{b}=\dfrac{50}{b} $
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}+1+\dfrac{4}{5}+\dfrac{6}{7}.\dfrac{c}{b}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{50}{b} $
$\Leftrightarrow \dfrac{1639}{420}=\dfrac{50}{b}$
$ \Leftrightarrow b=\dfrac{21000}{1639}$
$ \Rightarrow {\left\{\begin{matrix} & c=\dfrac{16800}{1639}\\ & d=\dfrac{14400}{1639}\\ & e=\dfrac{15750}{1639} \end{matrix}\right.}$
Bài toán chia xong. Số xấu quá.

Bạn kuma nhầm rùi. Đó không phải là bình phương thiếu của hiệu đâu.
Mà từ pt1 có: $a^{3}+1+2(b^{2}-2b+1)=0$
$(a+1)(a^{2}-a+1)+2(b-1))^{2}=0\Rightarrow a\leq -1$
Nên pt đó luôn lớn hơn 0

Có hệ pt trên $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a^{3}+2b^{2}-4b+3=0\\ &2a^{2}+2a^{2}b^{2}-4b=0 \end{matrix}\right.$
Trừ pt1 cho pt2 được:
$a^{3}-2a^{2}+3+2b^{2}(1-a^{2})=0$
$ \Leftrightarrow a^{2}(a+1)+3(1-a^{2})+2b^{2}(1-a^{2})=0 $
$\Leftrightarrow (a+1)(a^{2}+3(1-a)+2b^{2}(1-a))=0 $
$\Leftrightarrow a=-1$ hoặc $a^{2}+3(1-a)+2b^{2}(1-a)=0 $
+TH1:a=-1 $\Rightarrow b=1$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}=2 $
+TH2: $a^{2}+3(1-a)+2b^{2})(1-a)=0 $
$\Leftrightarrow a^{2}-3a+3+2b^{2}-2ab^{2}=0 $
$\Leftrightarrow a^{2}-a(2b^{2}+3)+2b^{2}+3=0 $ (Vô nghiệm)
Vậy $a^{2}+b^{2}=2$$

Từ pt1 có:$x^{2}-2y^{2}=1$
$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=1+y^{2}$
$\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=xy+yz+xz+y^{2}$ (từ pt3)
$\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-z)=0$
$\Leftrightarrow x=-y$ (loại) hoặc $x-2y-z=0$
Với $x-2y-z=0$
$\Leftrightarrow x=2y+z$
Thay vào hệ được:
$\left\{\begin{matrix}
& (2y+z)^{2}-2y^{2}=1\\
& 2y^{2}-3z^{2}=1
\end{matrix}\right.$
Giải hệ được: $y=-z $ (loại) hoặc $z=0$
z=0 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
&x^{2}=2 \\
& y^{2}=\dfrac{1}{2}\\
& xy=1
\end{matrix}\right.$

Cho $[TEX]a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=1$ chứng minh:
$\dfrac{2a^{2}+1}{(a+b)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(b+c)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(c+a)(b+1)}\geq\dfrac{33}{8}$

Có $\dfrac{2a^{2}+1}{(a+b)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(b+c)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(c+a)(b+1)}$
$=\dfrac{2a^{2}+1}{(1-c)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(1-a)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(1-b)(b+1)}$
$=\dfrac{2a^{2}+1}{1-c^{2}}+\dfrac{2b^{2}+1}{1-a^{2}}+\dfrac{2c^{2}+1}{1-b^{2}}$
Giả sử: $a\geq b\geq c\Rightarrow 1-c^{2}\geq 1-b^{2}\geq 1-a^{2}$
Áp dụng bđt Chebyshev có:
$\dfrac{2a^{2}+1}{1-c^{2}}+\dfrac{2b^{2}+1}{1-a^{2}}+\dfrac{2c^{2}+1}{1-b^{2}}$
$\geq \dfrac{1}{3}(2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3)(\dfrac{1}{1-c^{2}}+\dfrac{1}{1-a^{2}}+\dfrac{1}{1-b^{2}})$
$\geq \dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{3}(a+b+c)^{2}+3)\dfrac{9}{3-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
$\geq \dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{3}+3)(3-\dfrac{1}{3}(a+b+c)^{2})\geq \dfrac{33}{8}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Từ pt1 $\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=1$ (1)
Từ pt2 $\Leftrightarrow y(x+y)^{2}=2$ (2)
Lấy (2) chia (1) được:
$\dfrac{y(x+y)}{x^{2}-xy+y^{2}}=2$
$\Leftrightarrow y(x+y)=2(x^{2}-xy+y^{2})$
$\Leftrightarrow x(y-x)=(x-y)^{2}$
$\Leftrightarrow (x-y)(2x-y)=0$
Thay vào hệ ta tìm đươc (x;y)=....

Bài 3: (Vòng 2)
Có $x;y;z>-1\Rightarrow 1+y> 0$
Áp dụng BĐT AM_GM có:
$\dfrac{1+x^{2}}{1+y+z^{2}}\geq \dfrac{1+x^{2}}{1+z^{2}+\dfrac{1+y^{2}}{2}}\geq \dfrac{2(1+x^{2})}{2(1+z^{2})+(1+y^{2})}$
Tương tự với 2 phân thức còn lại.
Đặt $a=1+x^{2}; b=1+y^{2}; c=1+z^{2}$
Ta cần phải chứng minh:
$\dfrac{2a}{b+2c}+\dfrac{2b}{c+2a}+\dfrac{2c}{a+2b}\geq 2$
Hay $\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}\geq 1$
Có $\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}$
$=\dfrac{a^{2}}{a(b+2c)}+\dfrac{b^{2}}{b(c+2a)}+\dfrac{c^{2}}{c(a+2b)}$
$\geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)}$
$=\dfrac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ca)}\geq 1$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Cái này chỉ cần dùng kiến thức đơn thuần lớp 10 thôi mà.
Có $4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}$
$=\dfrac{sinA.sinB.sinC}{2cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}}$
$=\dfrac{sinA.sinB.sinC}{(cos\dfrac{A+B}{2}+cos\dfrac{A-B}{2})cos\dfrac{C}{2}}$
$=\dfrac{sinA.sinB.sinC}{(cos\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{C}{2})+(cos\dfrac{A-B}{2}cos\dfrac{C}{2})}$
$=2\dfrac{sinA.sinB.sinC}{cos\dfrac{A+B+C}{2}+cos\dfrac{A+B-C}{2}+cos\dfrac{A-B+C}{2}+cos\dfrac{A-B-C}{2}}$
$=2\dfrac{sinA.sinB.sinC}{(cos\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{C}{2})+(cos\dfrac{A-B}{2}cos\dfrac{C}{2})}$
$=2\dfrac{sinA.sinB.sinC}{cos\dfrac{180}{2}+cos\dfrac{180-2C}{2}+cos\dfrac{180-2B}{2}+cos\dfrac{2A-180}{2}}$
$=2\dfrac{sinA.sinB.sinC}{sin\dfrac{C}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{A}{2}}$
Áp dụng công thức:$sinA=\dfrac{a}{2R}$, $sinA=\dfrac{a}{2R}$, $sinA=\dfrac{a}{2R}$
$S=\dfrac{abc}{4R}=pr$
VT$=2\dfrac{\dfrac{a}{2R}\dfrac{b}{2R}\dfrac{c}{2R}}{\dfrac{a}{2R}+\dfrac{b}{2R}+\dfrac{c}{2R}}=\dfrac{abc}{4R^{3}}.\dfrac{2R}{a+b+c}$
$=\dfrac{2S}{R.2p}=\dfrac{r}{R}$ (Đ.P.C.M)

BQT có thể gửi câu hỏi phỏng vấn thành viên xusinst vào nick tuithichtoan được không ak? Máy tính của thành viên này bị hỏng. Em sẽ chuyển câu hỏi giúp thành viên này. Sắp hết hạn phỏng vấn rùi.

Có $2cos4x-sin2x+1=0$
$\Leftrightarrow 2(1-2sin^{2}2x)-sin2x+1=0$
$\Leftrightarrow (sin2x+1)(3-4sin2x)=0$
Bạn giải tiếp ha.....

Bài 5:
Có $x^{2}-2xy+y^{2}-5x+7y$ chia hết cho 17 (1)
$x^{2}-3xy+2y^{2}+x-y $ chia hết cho 17 (2)
Thấy: $x^{2}-3xy+2y^{2}+x-y=(x-y)(x-2y+1)$ chia hết cho 17
Vì 17 là số nguyên tố nên:
$(x-y)$ chia hết cho 17 hoặc $(x-2y+1) $ chia hết cho 17
TH1: $(x-y) \vdots 17 $
Có $ x^{2}-2xy+y^{2}-5x+7y= (x-y)(x-y-5)+2y $ chia hết cho 17
$\Rightarrow y \vdots 17$
$\Rightarrow x \vdots 17$ $\Rightarrow Đ.P.C.M$
TH2:$(x-2y+1) \vdots 17$
Có $x^{2}-2xy+y^{2}+x-y=x(x-2y+1)+y^{2}-6x+7y $ chia hết cho 17
$\Rightarrow y^{2}-6x+7y$ chia hết cho 17
Lấy (1)-(2)=$xy-y^{2}-6x+8y=(xy-12x+15y)-(y^{2}-6x+7y) $ chia hết cho 17
$\Rightarrow xy-12x+15y $ chia hết cho 17 (Đ.P.C.M)

Anh đang post mà máy bị "cháy chip" luôn rồi . Tủi chứ sao không. Anh đâu có học chuyên Toán đâu mà bảo người yêu anh cũng chuyên Toán. Mà nói gì thì nói, anh chưa có girl friend. .

Sao anh post bài thì không sao mà post ảnh thì cháy hả. Em đợi nãy giờ. Bực mình lắm rùi đó.

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm Min của:
$A=(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\dfrac{1}{xy+yz+zx})$

Vì u là nghiệm của pt:$ X^{2}+P_{1}X+q_{1}=0$
k là nghiệm của pt:$ X^{2}+P_{1}X+q_{1}=0$
Nên u,k cũng là nghiệm của pt: $(X^{2}+P_{1}X+q_{1})(X^{2}+P_{2}X+q_{2})=0$
$\Leftrightarrow X^{4}+(P_{1}+P_{2})X^{3}+(q_{1}+q_{2}+P_{1}P_{2})X^{2}+(P_{1}q_{2}+P_{2}q_{1})X+q_{1}q_{2}=0$
mà u,k là nghiệm của pt: $X^{4}+aX^{3}+bX^{2}+cX+d=0$
nên ta có:
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
& a=P_{1}+P_{2}\\
& b=q_{1}+q_{2}+P_{1}P_{2}\\
& c=P_{1}q_{2}+P_{2}q_{1}\\
& d=q_{1}q_{2}
\end{matrix}\right.$

Mình xin giải nốt bài 5,
Có:$3(x^{2}-x+1)^{2}-2(x+1)^{2}=5(x^{3}+1)$
$\Leftrightarrow 3(x^{2}-x+1)-2(x+1)^{2}=5(x+1)(x^{2}-x+1)$
$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1-2(x+1))(3(x^{2}-x+1)+x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-3x-1)(3x^{2}-2x+4)=0$
Đến đây các bạn giải tiếp nha

@ tuithichtoan: Hình như bạn nhầm ở đâu đó rồi, sau khi thử lại thì kết quả của bạn sai

HIHI. Mình ẩu quá. Mình bỏ quên mát mũ. mình edit lại rùi đó.

Có:
$2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}$
$=4a^{2}b^{2}-(2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2}+a^{4}+b^{4}+c^{4})$
$=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}=(2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2})(2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2})$