Bạn Dinh Xuan Hung nhầm chỗ dấu bằng rồi.

Dấu "=" phải là $x=y=z=\frac{1}{\sqrt3}\Leftrightarrow$$\begin{cases} & \text a=\sqrt3 \\ & \text b= 2\sqrt3\\ & \text c= 3\sqrt3 \end{cases}$

Cho các phương trình: 

$x^2+ax+1= 0$ (1)

$x^2+bx+1= 0$ (2)

$x^2+cx+1= 0$ (3)

Biết rằng tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm nào đó của phương trình (2) là nghiệm của phương trình (3).

Chứng minh $a^2+b^2+c^2+abc= 4$

Bạn giải cụ thể luôn được không ?

Tại sao các phần tử trong mỗi tập đều khác nhau theo modulo p ạ ? Anh giải thích kĩ hơn có được không ?

$S-S$ là gì vậy ? Bạn chứng minh hết luôn đi

Chứng minh thế này nè em.

Gọi M, N là hình chiếu của B, J lên DK.

Khi đó, BJ vuông góc với DK$\Leftrightarrow$M$\equiv$N$\Leftrightarrow$MD²-MK²=ND²-NK²

$\Leftrightarrow$BD²-BK²=JD²-JK².

Cái này cũng là một cách thường dùng, được sử dụng luôn đó.

Giải phương trình $x\sqrt{x^2+6}+\left ( x+1 \right )\sqrt{x^2+2x+7}= \frac{13}{5}\left ( 2x+1 \right )$

Gọi J là trung điểm AC.

Đặt $\widehat{ABJ}$=$\alpha$, $\widehat{CBJ}$=$\beta$.

Dễ có: AB.sin($\alpha$)=BC.sin($\beta$).

Ta sẽ chứng minh BJ vuông góc với DK.

Ta có: BJ vuông góc với DK $\Leftrightarrow$ BD²-BK²=JD²-JK²

$\Leftrightarrow$ BD²-BK²=(JB²+BD²-2JB.BD.cos($\widehat{JBD}$))-(JB²+BK²-2JB.BK.cos($\widehat{JBK}$))

$\Leftrightarrow$ BD.cos($\widehat{JBD}$)=BK.cos($\widehat{JBK}$)  $\Leftrightarrow$BD.cos($\pi$+$\alpha$)=BK.cos($\pi$+$\beta$)  $\Leftrightarrow$AB.sin($\alpha$)=BC.sin($\beta$) (đúng).

Vậy các đường cao của tam giác AGE, BDK, CIF lần lượt đi qua trung điểm của BC, CA, AB

Suy ra chúng đồng quy $\Rightarrow$ đpcm.

Ta có: $a^2=BC^2=\left ( \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB} \right )^2= IB^2+IC^2-2\overrightarrow{IB}\overrightarrow{IC}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{IB}\overrightarrow{IC}= IB^2+IC^2-a^2$ (1)

Tương tự, ta được: $2\overrightarrow{IC}\overrightarrow{IA}= IC^2+IA^2-b^2$ (2)

                                     $2\overrightarrow{IA}\overrightarrow{IB}= IA^2+IB^2-c^2$ (3)

Ta có đẳng thức quen thuộc sau: 

 $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}= \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left ( a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC} \right )^2= 0$

$\Rightarrow a^2IA^2+b^2IB^2+c^2IC^2+2ab\overrightarrow{IA}\overrightarrow{IB}+2bc\overrightarrow{IB}\overrightarrow{IC}+2ca\overrightarrow{IC}\overrightarrow{IA}= 0$ (4)

Thay (1), (2) và (3) vào (4) ta được 

 $\left (a+b+c \right )\left (aIA^2+bIB^2+cIC^2 \right )= abc\left ( a+b+c \right )$

$\Rightarrow \frac{IA^2}{bc}+\frac{IB^2}{ca}+\frac{IC^2}{ab}= 1$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $$x+y+z=3xyz$$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$$\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1}{y^2+2z^2x^2+1}+\frac{1}{z^2+2x^2y^2+1}\leq \frac{3}{4}$$

Đặt $A= \sum \frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}$

Ta có: $3xyz= x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\geq 1$

Ta có: $\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}= \frac{1}{x^2+y^2z^2+y^2z^2+1}\leq \frac{1}{2xyz+2yz}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2xyz}+\frac{1}{2yz} \right )$

Làm tương tự rồi cộng lại ta được $A\leq \frac{3}{8xyz}+\frac{1}{8}\sum \frac{1}{xy}= \frac{3}{8xyz}+\frac{x+y+z}{8xyz}\leq \frac{3}{8}+\frac{3}{8}= \frac{3}{4}$ (do $xyz\geq 1$ và $\frac{x+y+z}{xyz}= 3$) $\Rightarrow$ đpcm

Cho các số nguyên dương $b, n$. GIả sử với mỗi $k>1$ luôn tồn tại số nguyên $a_k$ sao cho $b-(a_k)^n$ chia hết cho $k$.

Chứng minh rằng $b$ là lũy thừa $n$ của một số nguyên.

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn $x+y+z= 1$.

Chứng minh $\sum \frac{x^2+1}{y^2+1}\leq \frac{7}{2}$

 Có bạn nào có cuốn "Hình học tổ hợp" của Phan Huy Khải không?

Nếu có thì up lên cho mình với. 

Cho các số thực dương a, b, c và a+b+c$\leq$3.

Chứng minh $\Sigma$$\sqrt{a}$$\geq$$\Sigma$ab

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n là bội của 3 đều tồn tại các số nguyên x, y sao cho

$x^{2}-34y^{2}+1 \vdots n$

Cho tam giác ABC, trực tâm H, tâm nội tiếp I, M là trung điểm BC, N đối xứng với I qua M. P là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Gọi X, Y, Z là hình chiếu của N lên BC, CP, PB. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ. Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định khi P di chuyển.

Bài toán này chỉ cần A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ d.

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d, suy ra A' cố định

Với mọi điểm M thuộc d thì MA'=MA. Ta có: MA+MB=MA'+MB$\geq$A'B không đổi.

Vậy MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của A'B và đường thẳng d (với A' xác định như trên).

a) Vì NE và PD là tiếp tuyến của (O) nên $\widehat{PNE}$=$\widehat{NPD}$=$\widehat{PMN}$.  

Lại có $\widehat{NPE}$=$\widehat{PND}$ $\Rightarrow$ $\widehat{DPE}$=$\widehat{END}$ 

$\Rightarrow$ PNDE nội tiếp.

b) Kẻ đường kính MH của (O), suy ra NH vuông góc với MN $\Rightarrow$ NH//PK

$\Rightarrow$ PH=NK.

Vậy MN²+NK²=MP²+PH²=MH²=4R².

Gọi M, P lần lượt là hinh chiếu của O lên AC, AB. N là hình ciếu của M lên AB.

Khi đó, dễ thấy d₂ vuông góc với MD, d₃ vuông góc với OM.

Xem BC là một trục. Giả sử D(0), A(a), E(x).

Khi đó B(-a), N($\frac{a}{2}$), P($\frac{a+x}{2}$).

Ta có:  (DO²-DD²)+(ED²-EM²)+(BM²-BO²)

          =(DO²-BO²)+(BM²-EM²)+ED²

          =(DP²-BP²)+(BN²-EN²)+ED²

         =($\frac{a+x}{2}$-0)²-($\frac{a+x}{2}$-(-a))²+($\frac{a}{2}$-(-a))²-($\frac{a}{2}$-x)²+(0-x)²=0.

Áp dụng định lý Carnot cho tam giác OMD suy ra d₁, d₂, d₃ đồng quy

Do a, b, c > 0 và abc=1 nên tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho  

a=$\frac{x}{y}$, b=$\frac{y}{z}$, c=$\frac{z}{x}$.

Cần chứng minh $\sum \frac{1}{\frac{2x}{y}+1}$ $\geq$ 1 .

Ta có: $\sum \frac{1}{\frac{2x}{y}+1}$=$\sum \frac{x}{2z+x}$=$\sum \frac{x^2}{2xz+x^2}$ $\geq$ $\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}$=1.

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $1!+2!+3!+...+x!= y^2$

Dễ có $\widehat{PBI}$=$\widehat{PAI}$=90^o nên PAIB nội tiếp. Suy ra $\widehat{APD}$=$\widehat{ABI}$

$\Rightarrow$$\widehat{APD}$=$\widehat{IBD}$.

Ta có $\widehat{APD}$=$\widehat{IBD}$, $\widehat{PDA}$=$\widehat{IDB}$

$\Rightarrow$ tam giác ADP đồng dạng với tam giác IDB

$\Rightarrow$$\frac{AD}{DP}$=$\frac{ID}{DB}$$\Rightarrow$DI.DP=DA.DB (1).

Tương tự, ta có DK.DQ=DA.DC (2).

D là trung điểm BC nên DB=DC (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra DI.DP=DK.DQ$\Rightarrow$IKQP nội tiếp$\Rightarrow$đpcm

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng

$\frac{cos^2A}{1+cosA}+\frac{cos^2B}{1+cosB}+\frac{cos^2C}{1+cosC}\geq \frac{1}{2}$