Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa $2014<\frac{a}{b}<2015$. Xét $2015$ số thực dương $x_1,x_2,...,x_{2015}$ thay đổi thỏa điều kiện $0 < x_i \leq b,\forall i=1,2,...,2015$ và $\sum_{i=1}^{2015}x_i=a$. Tìm $GTLN,GTNN$ của $P=\prod_{i=1}^{2015}x_i$ theo $a$ và $b$.
Bài này nhìn đề bài có vẻ ghê gớm nhưng thực ra không khó như cái hình thức của nó
Đầu tiên tìm max thì đơn giản rồi. Theo BĐT $AM-GM$ thì
$$P=\prod_{i=1}^{2015}x_i \leq (\frac{\sum_{i=1}^{2015} x_i}{2015})^{2015}$$
$$=\frac{a^{2015}}{2015^{2015}}$$
$$***$$
Tiếp đến tìm giá trị nhỏ nhất. Ý tưởng của ta sẽ là dồn biến về biên.
Gọi dãy $x_1,...,x_{2015}$ là dãy thỏa mãn P nhỏ nhất và dãy gồm có $m$ số $b$ và $n$ số $<b$ với $m+n=2015$
Giả sử $n \geq 2$.Không mất tính tổng quát,giả sử $0<x_1\leq x_2 \leq ... \leq x_n <b$
Vì từ giả thiết ta có:
$$ 2014b < x_1+...+x_{2015} <2015b$$
mà $0<x_i \leq b$ nên $2b>x_k+x_j >b$ với mọi $1<k<j<2015$ (*)
Khi đó, $P=x_1.x_2...x_n.b^m$
Do (*) nên ta có thể thay cặp $(x_1,x_n)$ bằng cặp $(x_1+x_n-b,b)$ mà vẫn đảm bảo tổng 2 số không đổi đồng thời hai số sau khi đổi vẫn thỏa mãn điều kiện để bài là $0<x_i<b$
Đặt $P'=(x_1+x_n-b).x_2...x_{n-1}.b^{m+1}$
Xét $$x_1.x_2 - b(x_1+x_n-b)= x_1.x_n + b^2 - b.x_1 - b.x_n$$
$$= (x_1-b)(x_n-b) > 0$$
vì $0 < x_1< x_n < b$. Vậy nên do đó $P'<P$ vô lý với giả thiết ban đầu.
Vậy $n<2$. Mà $n >0$ vì nếu $x_i=b$ với mọi $i$ thì vô lý. Vậy $n=1$
Vậy $P_{min}=(a-2014b).b^{2014}$.