Chứng minh bất đẳng thức : $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$
Với $a;b;c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=3$
BĐT cần chứng minh tương đương với :
$\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}}\geq \sum \frac{a}{\sqrt[3]{4}}$
Vậy ta cần chứng minh :
$\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}}\geq \frac{a}{\sqrt[3]{4}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{(3-a)^{2}}\geq \frac{a^{3}}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{(3-a)^{2}}\geq \frac{a}{4}\Leftrightarrow a(3-a)^{2}-4\leq 0\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a-4)\leq 0$
Đẳng thức cuối luôn đúng do $a+b+c=3$ nên $a<4$
Chứng minh tương tự với các BĐT còn lại ta có $Q.E.D$