Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $ab + bc + ca \leq 3abc$

Tìm max:

$P=\frac{1}{2a^{3}+b^{3}+6}+\frac{1}{2b^{3}+c^{3}+6}+\frac{1}{2c^{3}+a^{3}+6}$

$\left\{\begin{matrix} y^{2}+2x=1+\sqrt{x+1}+2\sqrt{y+1}\\ (y-x)(y+1)+(y^{2}-2)\sqrt{x+1}=1 \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c\in \left [ 0,1 \right ]$ . Tìm giá trị lớn nhất của:

$A=\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$

Cho $x^{2}y+xy^{2}+x+y=5xy$ Tìm Min của :

$A=x^{3}+y^{3}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

Cho tam giác ABC.Gọi D,E,F thứ tự là chân 3 đường phân giác trong tam giác.Giả sử đã biết toạ độ của D,E,F.Hãy xác định toạ độ của A,B,C.

Cho tam giác ABC,một điểm M bất kì nằm trong tam giác.Gọi x,y,z là khoảng cách là M tới BC,CA,AB.CMR:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2R}}$

Cho a>2b>0.CMR:

$2a+\frac{1}{b(a-2b)^{2}}\geq 4\sqrt{2}$

Mình nghĩ là bài toán này thiếu ĐK,thêm a+b+c=3

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\geq \frac{16}{3x+3y+2z}$

Tương tự với những cái còn lại $\Rightarrow 4(\sum \frac{1}{x+y})\geq \sum \frac{16}{3x+3y+2z}\Leftrightarrow 24\geq \sum \frac{16}{3x+3y+2z}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{3x+3y+2z}\leq \frac{3}{2}$

Bài 5:

$(x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq 2\Rightarrow x+y\geq 1$

Từ đó giải bài toán

C1:

Đặt y+z=a,x+z=b,x+y=c suy ra $x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{a+c-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}=\frac{1}{2}\sum \frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

C2:

$\sum \frac{x}{y+z}=\sum \frac{x+y+z}{y+z}-3=(x+y+z)(\sum \frac{1}{y+z})-3\geq (x+y+z)(\frac{9}{2(x+y+z)})-3= \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

$\boxed{2}$ Cho $x,y>0$ thoả mãn $x+\frac{1}{y} \leq 1$

Tìm min 

$$A=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$$

Đặt $\frac{1}{y}=a$ nên ta chuyển bài toán thành,cho x+a=1 Tìm min của $xa+\frac{1}{xa}$

$xa+\frac{1}{xa}=xa+\frac{1}{4xa}+\frac{3}{4xa}\geq 1+3=4$

Dấu"=" khi x=a=1/2

Câu I:

Đầu bài sai bạn nhá,cho x=-1,y=-1,z=2 thì vế trái bằng 6 rồi

Câu II:Dùng phương pháp miền giá trị nhé,cách này nhiều sách có lắm

Câu III:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$y+z\geq 2\sqrt{yz}$

$z+x\geq 2\sqrt{xz}$

Nhân vế với vế của 3 BDT trên ta được đpcm

Câu IV:

$P\geq \frac{9}{xy+yz+xz+3}$$P\geq \frac{9}{xy+yz+xz+3}\geq \frac{9}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Câu V:

Đặt

a+b-c=x

a+c-b=y

b+c-a=z suy ra $a=\frac{x+y}{2},b=\frac{x+z}{2},c=\frac{y+z}{2}$

Từ đó bạn biểu diễn P theo x,y,z rồi dùng Cauchy lệch là xong.

Coi phương trình trên là phương trình bậc 2 với biến b,phương trình này phải có nghiệm nên $\Delta \geq 0\Leftrightarrow 1-4(a-1)\geq 0\Leftrightarrow 4a\leq 5\Leftrightarrow a\leq \frac{5}{4}$

bài hình câu a phải vẽ 2 cái tam giác 1 nhọn 1 tù phải ko?

Vẽ kiểu gì chả được

Câu I:2)

Đưa về dạng $(a^{2}-p)(b^{2}-p)= p^{2}$.Sau đó giả sử p là số nguyên tố sẽ xảy ra 2 TH:

TH1:

$a^{2}-p=1,b^{2}-p=p^{2}\Rightarrow b^{2}=p^{2}+p\Rightarrow p^{2}<b^{2}<(p+1)^{2}$ ko tồn tại b

TH2:$a^{2}-p=p,b^{2}-p=p\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a^{2}p=a^{4}\Leftrightarrow 2p=a^{2}\Rightarrow a=2k\Rightarrow p=2k^{2}\Rightarrow k=1\Rightarrow a=2\Rightarrow$

vô lí.Vậy p là hợp số.

Bài nghiệm nguyên:

$x^{2}+2xy+y^{2}-2(x+y)+1-4y^{2}+8y-4=5\Leftrightarrow (x+y-1)^{2}-(2y-2)^{2}=5\Leftrightarrow (x-y+1)(x+3y-3)=5$

Sau đó xét ước.

Hệ ptr:

Nhân 2 phương trình đầu rồi trừ phương trình sau suy ra:

$(x+y-2)^{2}=0\Rightarrow x+y=2$

$\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}= \sum \frac{a}{\sqrt{a(a+b)}}> \sum \frac{2a}{2a+b}> \sum \frac{2a}{2a+2b+2c}= 1$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc=1$

Tìm min P= $a^{2}+b^{2}+c^{2}$

* Giải cách THCS giùm em với!

$(\sum a)(\sum a^{2}-\sum ab)= 1\Leftrightarrow \sum a^{2}=\frac{1}{\sum a}+\sum ab\Leftrightarrow \sum a^{2}=\frac{1}{\sum a}+\frac{(\sum a)^{2}-\sum a^{2}}{2}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\sum a^{2}=\frac{1}{\sum a}+\frac{(\sum a)^{2}}{2}$

Cần tìm min của $\frac{1}{\sum a}+\frac{(\sum a)^{2}}{2}$

Đặt a+b+c=x,tìm min của $\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}= \frac{1}{x}+x+\frac{x^{2}-2x+1}{2}-\frac{1}{2}\geq 2-\frac{1}{2}= \frac{3}{2}\Rightarrow \sum a^{2}\geq 1$

Tự chỉ dấu "=" nhá

2,cho a,b>0/ab=1 

tìm min A=$(a+b+1)(a^{2}+b^{2})+\frac{4}{a+b}$

$A\geq 2(a+b+1)+\frac{4}{a+b}= (a+b+\frac{4}{a+b})+a+b+2\geq 4+2+2=8$

Dấu'=" khi a=b=1

Mình cũng nghĩ như namsub nhưng làm thế này:

Đặt $\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}=a,\frac{x}{y}=b,\frac{y}{x}=c$

Áp dụng BDT:$\sum a^{2}\geq \sum ab\Rightarrow \frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\geq \frac{2x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+1= 3$

Dấu"=" khi x=y=z

Ta đi chứng minh:

$\frac{a}{bc+1}\leq \frac{2a}{bc+a+1}\Leftrightarrow \frac{abc+a^{2}+a-2abc-2a}{(bc+1)(bc+a+1)}\leq 0\Leftrightarrow \frac{a^{2}-abc-a}{(bc+1)(bc+a+1)}\Leftrightarrow \frac{a(a-bc-1)}{(bc+1)(bc+a+1)}\leq 0$

Luôn đúng do $\Sigma a^{2}=1$.Dấu"=" khi hoặc a=0,hoặc a=bc+1.

Suy ra $\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{2a}{bc+a+1}$

Lại có $(b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c\Rightarrow \sum \frac{2a}{bc+a+1}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}= 2$

Dấu"=" khi 2 số bằng 0,1 số bằng 1.

Ta có: $(a+b)(b+c)(c+a) - 8abc= b(a^{2}+c^{2})+a(b^{2}+c^{2})+ c(a^{2}+b^{2})-6abc$

           $= b(a^{2}+c^{2}-2ac)+a(b^{2}+c^{2}-2bc)+ c(a^{2}+b^{2}-2ab)$

           $= b(a-c)^{2}+a(b-c)^{2}+c(a-b)^{2}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

...

a,b,c đâu có dương mà suy ra được cái trong ngoặc bằng 0,nhỡ một cái âm,hai cái dương cộng lại bằng 0 thì sao,nhiều TH nữa lắm,nói chung cứ biến đổi tương đương được rồi.

Bạn NguyThang khtn ơi, tại sao khi AQ là phân giác của MAN lại suy ra được A, P, Q thẳng hàng, đề bài đâu có cho AP là phân giác của MAN đâu??????????????

Bạn xem lại kĩ đầu bài nhá .Nó cho AP là p/g rồi mới bắt chứng minh

Đặt $x+y+z=a\Rightarrow xy+yz+xz=\frac{a^{2}-3}{2}\Rightarrow M=a+\frac{a^{2}-3}{2}= \frac{(a+1)^{2}-4}{2}\geq -2$

Dấu"=" khi x+y+z=-1,chẳng hạn x=-1,y=-1,z=1

Chắc a,b là tham số >0

$1= \frac{a}{x}+\frac{b}{y}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{x+y}\Rightarrow x+y\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$