Cho 3 vecto $\vec{a};\vec{b};\vec{c}$.CM
$\sum \left | \vec{a} +\vec{b}\right |\leq \left | \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \right |+$\sum \left | \vec{a} \right |$
Hãy tổng quát hóa bài toán trên
There have been 32 items by arsenal20101998 (Search limited from 22-05-2020)
Posted by arsenal20101998 on 21-11-2013 - 19:35 in Hình học phẳng
Cho 3 vecto $\vec{a};\vec{b};\vec{c}$.CM
$\sum \left | \vec{a} +\vec{b}\right |\leq \left | \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \right |+$\sum \left | \vec{a} \right |$
Hãy tổng quát hóa bài toán trên
Posted by arsenal20101998 on 17-11-2013 - 18:51 in Thi TS ĐH
Câu 2a đã có ở đây http://diendantoanho...in3xsin-xcos-x/
Posted by arsenal20101998 on 13-11-2013 - 19:18 in Bất đẳng thức và cực trị
Ta có
$(x^2+y^2)^2=(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2) \Rightarrow x+y=x^2+y^2\leq 2$
$P=3x+1+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+x+3y+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}-(x+y)-1\geq 3\sqrt[3]{64}+3\sqrt[3]{64}-2-1=21$
$P=21\Leftrightarrow x=y=1$
Vậy Min P=21
Posted by arsenal20101998 on 12-11-2013 - 19:43 in Bất đẳng thức và cực trị
BĐT cần CM tương đương
$(a+b+c)\prod (a+b-c)\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 16S^2\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 4S\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow \frac{abc}{R}\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow R\geq \frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\\sin c}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow {\sin A+\sin B+\\sin c}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Xét các góc $x;y\in \left ( 0;\pi \right )$ có
$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\leq 2\sin \frac{x+y}{2}(0< \cos \frac{x-y}{2}<\leq 1)$
Áp dụng BĐT trên ta đc $\sin A+\sin B+\sin C+\sin \frac{\pi }{3}\leq 2\sin \frac{A+B}{2}+2\sin \frac{C+\frac{\pi }{3}}{2}\leq 4\sin \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{4}=4\sin \frac{\pi }{3}(A+B+C=\pi )$
Suy ra $\sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin \frac{\pi }{3}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Vậy ta có dpcm
Posted by arsenal20101998 on 11-11-2013 - 19:19 in Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
PT tương đương $2\sqrt{2}\sin x\cos x+2\sqrt{2}\cos ^2x-\cos 2x=3\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+(\sqrt{2}-1)\cos 2x=3-\sqrt{2}$
(PT lượng giác cơ bản)
Posted by arsenal20101998 on 11-11-2013 - 19:04 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
ĐK $x\geq 0$
Ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình
Nếu $x>1$ thì $4x>3x+1;2x+2>x+3$
Do đó$VT>VP$
Tương tự $x< 1$ thi $VT< VP$
Vậy X=1 là nghiệm duy nhất
Posted by arsenal20101998 on 11-11-2013 - 18:57 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
ĐK; $x\neq 0$
Dễ thấy khi $x< 0$ thì x không là nghiệm
Xét $x> 0$
PT đã cho tương đương
$\sqrt{x}(\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}+\sqrt{x+\frac{2}{x}+1})=x+\frac{4}{x}\Leftrightarrow \sqrt{x}(\frac{x+\frac{4}{x}}{\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}-\sqrt{x+\frac{2}{x}+1}})=x+\frac{4}{x}$
Từ đó suy ra PT tương đương
$\sqrt{x}=\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}-\sqrt{x+\frac{2}{x}+1}\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{x+\frac{2}{x}+1}=\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}\Leftrightarrow 2x+\frac{2}{x}+1+2\sqrt{x^2+x+2}=2x+\frac{6}{x}+1\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+2}=\frac{2}{x}\Leftrightarrow x^2+x+2=\frac{4}{x^2}\Leftrightarrow x^4+x^3+2x^2-4=0\Leftrightarrow (x-1)(x^3+2x^2+4x+4)=0\Leftrightarrow x=1$
Vậy $x=1$
Posted by arsenal20101998 on 10-11-2013 - 09:24 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
B1:
Nếu $x=0$ thì dễ dàng suy ra $y=z=0$
Xét$x,y,z\neq 0$
Hệ đã cho tương đương
$\left\{\begin{matrix} (\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})^2=4+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2=5+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2} \end{matrix}\right.$
Cọng các vế lại, ta được
$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=12+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Đến đây tìm đc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ và thế vào các pt, ta tìm được $x,y,z$
Posted by arsenal20101998 on 05-11-2013 - 18:58 in Hình học không gian
Cho tứ diện ABCD.R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp.Chứng minh:
$R\geq 3r$
Posted by arsenal20101998 on 03-11-2013 - 19:12 in Bất đẳng thức và cực trị
BĐT cân cm tương đương
$(a^3+b^3)(a^2+b^2)\leq (1+ab)(a^5+b^5)\Leftrightarrow ab(a^5+b^5)\geq a^2b^2(a+b)\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$
(luôn đúng)
Posted by arsenal20101998 on 02-11-2013 - 07:38 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 2
Pt đã cho tương đương
$2-\frac{3}{x+2}-\frac{11}{x+6}=2-\frac{5}{x+3}-\frac{9}{x+5} \Leftrightarrow \frac{14x+40}{x^2+8x+12}=\frac{14x+52}{x^2+8x+15} \Leftrightarrow \frac{-2x^2-9x-4}{x^2+8x+12}=\frac{-2x^2-9x-4}{x^2+8x+15}$ (chia 2 vế cho 2 và trừ đi 2)
$\Leftrightarrow -2x^2-9x-4=0\Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$
Posted by arsenal20101998 on 16-06-2013 - 12:29 in Các dạng toán THPT khác
Xét $VP=(b^2+ab+bc+ca)(c+a)+abc=(c+a)(ab+bc+ca)+b^2(c+a)+abc=(c+a)(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)=VT$
Posted by arsenal20101998 on 15-06-2013 - 22:05 in Số học
Ta có $9^{n}+3^{n}+1=\frac{27^{n}-1}{3^{n}-1}$
Tử số chia hết cho 13
Mà $n$ không chia hết cho 3 nên mẫu không chia hết cho 13
Suy ra $A\vdots 13$ (do 13 nguyên tố)
Posted by arsenal20101998 on 08-06-2013 - 17:47 in Tài liệu - Đề thi
Câu 2 bài 2 thì xét tổng $\overline{abcde}+\overline{abc}-(10d+e)=101\overline{abc}\vdots 101$ nên chỉ cần tìm số các số có 5 chữ số chia hết cho 101 thôi
Posted by arsenal20101998 on 02-06-2013 - 20:38 in Đại số
Tính giá trị của biểu thức : $x\sqrt{y^{2}+2}+y\sqrt{x^{2}+2}$ khi $(x+\sqrt{x^{2}+2})(y+\sqrt{y^{2}+2})=2$
ĐK đã cho tương đương
$\frac{2}{\sqrt{x^2+2}-x}*\frac{2}{\sqrt{y^2+2}-y}=2$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+2}-x)(\sqrt{y^2+2}-y)=2=(\sqrt{x^2+2}+x)(\sqrt{y^2+2}+y)$
Khai triển ra và rút gọn ta được $-x\sqrt{y^2+2}-y\sqrt{x^2+2}=x\sqrt{y^2+2}+y\sqrt{x^2+2}$
Suy ra biểu thức cần tính có giá trị là 0
Posted by arsenal20101998 on 31-05-2013 - 21:19 in Bất đẳng thức và cực trị
Từ điều kiện đã cho suy ra $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )>0$
BDT đã cho tương đương $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )\geq 0$
Ta chứng minh $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right ) > $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )
Thật vậy, xét hiệu
$a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )-$a^{200}\left ( a-1 \right )-b^{200}\left ( b-1 \right ) = $a^{200}(a-1)^2+b^{200}(b-1)^2\geq$0
Suy ra dpcm
Posted by arsenal20101998 on 26-05-2013 - 19:45 in Bất đẳng thức và cực trị
Đặt $\frac{a}{1-a}=x; \frac{b}{1-b}=y;\frac{c}{1-c}=z;\frac{1-a-b-c}{a+b+c}=t$
Dễ dàng tính được $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{t+1}=3$
Bài toán quy về chứng minh $xyzt\leq \frac{1}{81}$
Ta có:
$\frac{1}{1+x}=1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}+1-\frac{1}{1+t}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{t}{1+t}$
$\Rightarrow \frac{1}{1+x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{yzt}{(1+y)(1+z)(1+t)}}$
CMTT rồi nhân các BDT lại và thu gọn ta được dpcm
Posted by arsenal20101998 on 26-05-2013 - 12:22 in Tài liệu - Đề thi
Câu I:
1) Với a,b,c>0. ab+ac+bc =1 .CMR:
$\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}-\frac{c}{1+c^{2}}=\frac{2ab}{\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}}$
2) Giải phương trình: $4x + \sqrt{3x^{2}+10x+3}=2x\sqrt{3x+1}+2\sqrt{x+3}$
Câu II:
1) Số 27000001 có đúng 4 ước nguyên tố,hãy tính tổng của chúng.
2) CMR:
$\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{6\sqrt{4}}+...+\frac{1}{2n\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>1$
Câu III: Cho tam giác ABC.(K) đi qua B,C sao cho luôn cắt AB,AC tại F,E khác B,C.BE giao CF tại H.M là trung điểm EF.Gọi P,Q là điểm đối xứng của A qua BE,CF.
1) CMR:(I) ngoại tiếp tam giác HPE và (J) ngoại tiếp tam giác HQF cắt nhau trên AM.
2) CMR: (I) và (J) có bán kính bằng nhau.
Câu IV: x,y,z >0 thoả mãn $\Sigma \frac{1}{x}=2$
CMR: $\Sigma \sqrt{x+1}\leq \sqrt{5(\Sigma x)}$
Có ai ở đây đi thi ko?Tình hình làm bài thế nào? :biggrin:Mình cũng bình thường.
Cách khác câu IV
$VT=\sum \sqrt{x(1+\frac{1}{x})}$
$VT^2\leq (x+y+z)(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z})=5(x+y+z)$ (Bu-nhi-a-cốp-xki)
Từ đây có dpcm
Posted by arsenal20101998 on 25-05-2013 - 19:15 in Tài liệu - Đề thi
Câu III (nhờ mọi người vẽ hình hộ)
a)
Tứ giác ALFM nội tiếp nên
$\angle LAM =\angle EFD$
Mà $\angle EFD =\frac{1}{2}\angle EID=\angle DIC=\angle DEC= \angle AED =\angle AMK$
Nên $\angle LAM =\angle AMK$
$\Rightarrow AL$ song song $MK$
CMTT ta được LM song song AK
$\Rightarrow$ Tứ giác ALMK là hình bình hành
Đến đây dễ dàng suy ra đpcm
b) Dễ thấy
LM song song QE ; MK song song PF (tính chất đường trung bình)
Nen nếu QE cắt FP tại N; LM cắt FP tại X ; FP cất QE tại Y thì NXMY là hình bình hành
$\Rightarrow$ $\angle PNE =\angle LMK=\angle LAK$
$\Rightarrow \angle FNE +\angle FDE =180$
Suy ra tứ giác FNED nội tiếp
Dễ dàng suy ra dpcm
Posted by arsenal20101998 on 20-05-2013 - 19:19 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh
$$\frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{1}{a^2+7}+\frac{1}{b^2+7}+\frac{1}{c^2+7}$$
Ta có:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c}$
Mà $a^2+1\geq 2a$ ; $2(b^2+1)\geq4b$ ; $c^2+1\geq 2c$
$\Rightarrow a^2+2b^2+c^2+4\geq 2(a+2b+c)$
$\Rightarrow b^2+7\geq 2(a+2b+c)$
$\Rightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{8}{b^2+7}$
Chứng minh tương tự rồi cộng các BDT lại ta có dpcm
Posted by arsenal20101998 on 14-05-2013 - 18:59 in Số học
Mình làm bài 3 trước
$n+1\vdots 25\Rightarrow n$ có thể có 2 c/s tận cùng là 99;24;49;74
Mà$n+2\vdots 4\Rightarrow$ n có 2 c/s tận cùng là 74
Nhung $n\vdots 9$ nên só n nhỏ nhất thoả mãn là 774
Bài 2
$\overline{xy2}\vdots 4\Rightarrow y$ lẻ$\overline{xy2}\vdots 7\Rightarrow \overline{xy}-4\vdots 7$
Từ đó tìm được các số thoã mãn
Bài 1
Ta có ; $a^{101}-a^{100}\equiv 67 (mod 73) \Rightarrow a^{100}(a-1)\equiv 67 (mod73)\Rightarrow a\equiv 71(mod73)$
Posted by arsenal20101998 on 14-05-2013 - 17:04 in Số học
$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ và $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$
Vậy ta cần tìm n để $2n+1\vdots 3$ (dễ rồi)
Posted by arsenal20101998 on 12-05-2013 - 20:54 in Số học
64 *63/2=2016
Posted by arsenal20101998 on 12-05-2013 - 09:15 in Tài liệu - Đề thi
Là cùng thuộc 1dg tròn
Posted by arsenal20101998 on 11-05-2013 - 18:06 in Đại số
$a/$ Cho $x,y\in \mathbb{Q}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)$
Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}\in \mathbb{Q}$
$b/$ Cho $x,y\in \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn $x^{3}+y^{3}=2x^{2}y^{2}$
Chứng minh rằng $\sqrt{1-\frac{1}{xy}}\in \mathbb{Q}$
a) Từ điều kiện đã cho suy ra $x^3+y^3=2xy\Leftrightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=2 . Mặt khác $\sqrt{1-xy}=\frac{1}{2}\sqrt{4-4xy}$$4=(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x})^2 va $xy=\frac{x^2}{y}.\frac{y^2}{x}$
Suy ra $\sqrt{1-xy}=\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x})}^2$ la so huu ti
b) Tuong tu a
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học