Cho 3 vecto $\vec{a};\vec{b};\vec{c}$.CM

$\sum \left | \vec{a} +\vec{b}\right |\leq \left | \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \right |+$\sum \left | \vec{a} \right |$

Hãy tổng quát hóa bài toán trên

Câu 2a đã có ở đây http://diendantoanho...in3xsin-xcos-x/

Ta có

$(x^2+y^2)^2=(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2) \Rightarrow x+y=x^2+y^2\leq 2$

$P=3x+1+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+x+3y+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}-(x+y)-1\geq 3\sqrt[3]{64}+3\sqrt[3]{64}-2-1=21$

$P=21\Leftrightarrow x=y=1$

Vậy Min P=21

BĐT cần CM tương đương

$(a+b+c)\prod (a+b-c)\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 16S^2\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 4S\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow \frac{abc}{R}\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow R\geq \frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\\sin c}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow {\sin A+\sin B+\\sin c}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét các góc $x;y\in \left ( 0;\pi \right )$ có 

$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\leq 2\sin \frac{x+y}{2}(0< \cos \frac{x-y}{2}<\leq 1)$

Áp dụng BĐT trên ta đc $\sin A+\sin B+\sin C+\sin \frac{\pi }{3}\leq 2\sin \frac{A+B}{2}+2\sin \frac{C+\frac{\pi }{3}}{2}\leq 4\sin \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{4}=4\sin \frac{\pi }{3}(A+B+C=\pi )$

Suy ra $\sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin \frac{\pi }{3}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy ta có dpcm

PT tương đương $2\sqrt{2}\sin x\cos x+2\sqrt{2}\cos ^2x-\cos 2x=3\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+(\sqrt{2}-1)\cos 2x=3-\sqrt{2}$

(PT lượng giác cơ bản)

ĐK $x\geq 0$

Ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình

Nếu $x>1$ thì $4x>3x+1;2x+2>x+3$

Do đó$VT>VP$

Tương tự $x< 1$ thi $VT< VP$

Vậy X=1 là nghiệm duy nhất

ĐK; $x\neq 0$

Dễ thấy khi $x< 0$ thì x không là nghiệm

Xét $x> 0$

PT đã cho tương đương

$\sqrt{x}(\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}+\sqrt{x+\frac{2}{x}+1})=x+\frac{4}{x}\Leftrightarrow \sqrt{x}(\frac{x+\frac{4}{x}}{\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}-\sqrt{x+\frac{2}{x}+1}})=x+\frac{4}{x}$

Từ đó suy ra PT tương đương

$\sqrt{x}=\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}-\sqrt{x+\frac{2}{x}+1}\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{x+\frac{2}{x}+1}=\sqrt{2x+\frac{6}{x}+1}\Leftrightarrow 2x+\frac{2}{x}+1+2\sqrt{x^2+x+2}=2x+\frac{6}{x}+1\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+2}=\frac{2}{x}\Leftrightarrow x^2+x+2=\frac{4}{x^2}\Leftrightarrow x^4+x^3+2x^2-4=0\Leftrightarrow (x-1)(x^3+2x^2+4x+4)=0\Leftrightarrow x=1$ 

Vậy $x=1$

B1:

Nếu $x=0$ thì dễ dàng suy ra $y=z=0$

Xét$x,y,z\neq 0$

Hệ đã cho tương đương

$\left\{\begin{matrix} (\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})^2=4+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2=5+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2} \end{matrix}\right.$

Cọng các vế lại, ta được

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=12+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Đến đây tìm đc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ và thế vào các pt, ta tìm được $x,y,z$

Cho tứ diện ABCD.R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp.Chứng minh:

$R\geq 3r$

BĐT cân cm tương đương

$(a^3+b^3)(a^2+b^2)\leq (1+ab)(a^5+b^5)\Leftrightarrow ab(a^5+b^5)\geq a^2b^2(a+b)\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$ 

(luôn đúng)

Bài 2

Pt đã cho tương đương

$2-\frac{3}{x+2}-\frac{11}{x+6}=2-\frac{5}{x+3}-\frac{9}{x+5} \Leftrightarrow \frac{14x+40}{x^2+8x+12}=\frac{14x+52}{x^2+8x+15} \Leftrightarrow \frac{-2x^2-9x-4}{x^2+8x+12}=\frac{-2x^2-9x-4}{x^2+8x+15}$ (chia 2 vế cho 2 và trừ đi 2)

$\Leftrightarrow -2x^2-9x-4=0\Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$

Xét $VP=(b^2+ab+bc+ca)(c+a)+abc=(c+a)(ab+bc+ca)+b^2(c+a)+abc=(c+a)(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)=VT$

Ta có $9^{n}+3^{n}+1=\frac{27^{n}-1}{3^{n}-1}$

Tử số chia hết cho 13

Mà $n$ không chia hết cho 3 nên mẫu không chia hết cho 13

Suy ra $A\vdots 13$ (do 13 nguyên tố)

Câu 2 bài 2 thì xét tổng $\overline{abcde}+\overline{abc}-(10d+e)=101\overline{abc}\vdots 101$ nên chỉ cần tìm số các số có 5 chữ số chia hết cho 101 thôi

Tính giá trị của biểu thức :  $x\sqrt{y^{2}+2}+y\sqrt{x^{2}+2}$ khi $(x+\sqrt{x^{2}+2})(y+\sqrt{y^{2}+2})=2$

ĐK đã cho tương đương

$\frac{2}{\sqrt{x^2+2}-x}*\frac{2}{\sqrt{y^2+2}-y}=2$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+2}-x)(\sqrt{y^2+2}-y)=2=(\sqrt{x^2+2}+x)(\sqrt{y^2+2}+y)$

Khai triển ra và rút gọn ta được $-x\sqrt{y^2+2}-y\sqrt{x^2+2}=x\sqrt{y^2+2}+y\sqrt{x^2+2}$

Suy ra biểu thức cần tính có giá trị là 0

Từ điều kiện đã cho suy ra $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )>0$

BDT đã cho tương đương $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )\geq 0$

Ta chứng minh $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right ) > $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )

Thật vậy, xét hiệu

$a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )-$a^{200}\left ( a-1 \right )-b^{200}\left ( b-1 \right ) = $a^{200}(a-1)^2+b^{200}(b-1)^2\geq$0

Suy ra dpcm

Đặt $\frac{a}{1-a}=x; \frac{b}{1-b}=y;\frac{c}{1-c}=z;\frac{1-a-b-c}{a+b+c}=t$

Dễ dàng tính được $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{t+1}=3$

Bài toán quy về chứng minh $xyzt\leq \frac{1}{81}$

Ta có:

$\frac{1}{1+x}=1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}+1-\frac{1}{1+t}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{t}{1+t}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{yzt}{(1+y)(1+z)(1+t)}}$

CMTT rồi nhân các BDT lại và thu gọn ta được dpcm

Câu I:

1) Với a,b,c>0. ab+ac+bc =1 .CMR:

               

                $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}-\frac{c}{1+c^{2}}=\frac{2ab}{\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}}$

 

2) Giải phương trình:  $4x + \sqrt{3x^{2}+10x+3}=2x\sqrt{3x+1}+2\sqrt{x+3}$

 

 

Câu II:

1) Số 27000001 có đúng 4 ước nguyên tố,hãy tính tổng của chúng.

 

2) CMR:

                $\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{6\sqrt{4}}+...+\frac{1}{2n\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>1$

 

 

Câu III: Cho tam giác ABC.(K) đi qua B,C sao cho luôn cắt AB,AC tại F,E khác B,C.BE giao CF tại H.M là trung điểm EF.Gọi P,Q là điểm đối xứng của A qua BE,CF.

1) CMR:(I) ngoại tiếp tam giác HPE và (J) ngoại tiếp tam giác HQF cắt nhau trên AM.

2) CMR: (I) và (J) có bán kính bằng nhau.

 

 

Câu IV: x,y,z >0 thoả mãn $\Sigma \frac{1}{x}=2$

 

                                                   CMR: $\Sigma \sqrt{x+1}\leq \sqrt{5(\Sigma x)}$

 

Có ai ở đây đi thi ko?Tình hình làm bài thế nào? :biggrin:Mình cũng bình thường.

Cách khác câu IV

$VT=\sum \sqrt{x(1+\frac{1}{x})}$

$VT^2\leq (x+y+z)(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z})=5(x+y+z)$ (Bu-nhi-a-cốp-xki)

Từ đây có dpcm

Câu III (nhờ mọi người vẽ hình hộ)

a)

Tứ giác ALFM nội tiếp nên

$\angle LAM =\angle EFD$

Mà $\angle EFD =\frac{1}{2}\angle EID=\angle DIC=\angle DEC= \angle AED =\angle AMK$

Nên $\angle LAM =\angle AMK$

$\Rightarrow AL$ song song $MK$

CMTT ta được LM song song AK

$\Rightarrow$ Tứ giác ALMK là hình bình hành

Đến đây dễ dàng suy ra đpcm

b) Dễ thấy

LM song song QE ; MK song song PF (tính chất đường trung bình)

Nen nếu QE cắt FP tại N; LM cắt FP tại X ; FP cất QE tại Y thì NXMY là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\angle PNE =\angle LMK=\angle LAK$

$\Rightarrow \angle FNE +\angle FDE =180$

Suy ra tứ giác FNED nội tiếp

Dễ dàng suy ra dpcm

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh

$$\frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{1}{a^2+7}+\frac{1}{b^2+7}+\frac{1}{c^2+7}$$

Ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c}$

Mà $a^2+1\geq 2a$ ; $2(b^2+1)\geq4b$ ; $c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+2b^2+c^2+4\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow b^2+7\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{8}{b^2+7}$

Chứng minh tương tự rồi cộng các BDT lại ta có dpcm

Chào tất cả các bạn.

Mình không học Toán chuyên sâu nên mong các bạn giúp mình giải 3 bài toán chia hết. Máy tính của mình bị lỗi, bật TEX là tự động treo máy nên mình xin up file ảnh lên. Cảm ơn các bạn nhiều nhiều.

Mình làm bài 3 trước

$n+1\vdots 25\Rightarrow n$ có thể có 2 c/s tận cùng là 99;24;49;74

Mà$n+2\vdots 4\Rightarrow$ n có 2 c/s tận cùng là 74

Nhung $n\vdots 9$ nên só n nhỏ nhất thoả mãn là 774

Bài 2

$\overline{xy2}\vdots 4\Rightarrow y$ lẻ$\overline{xy2}\vdots 7\Rightarrow \overline{xy}-4\vdots 7$

Từ đó tìm được các số thoã mãn

Bài 1

Ta có ; $a^{101}-a^{100}\equiv 67 (mod 73) \Rightarrow a^{100}(a-1)\equiv 67 (mod73)\Rightarrow a\equiv 71(mod73)$

$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ và $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$

Vậy ta cần tìm n để  $2n+1\vdots 3$ (dễ rồi)

64 *63/2=2016

Là cùng thuộc 1dg tròn

$a/$ Cho $x,y\in \mathbb{Q}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-xy}\in \mathbb{Q}$

$b/$ Cho $x,y\in \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn $x^{3}+y^{3}=2x^{2}y^{2}$

Chứng minh rằng $\sqrt{1-\frac{1}{xy}}\in \mathbb{Q}$

a) Từ điều kiện đã cho suy ra $x^3+y^3=2xy\Leftrightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=2 . Mặt khác $\sqrt{1-xy}=\frac{1}{2}\sqrt{4-4xy}$$4=(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x})^2 va $xy=\frac{x^2}{y}.\frac{y^2}{x}$

Suy ra $\sqrt{1-xy}=\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x})}^2$ la so huu ti

b) Tuong tu a