Ta thấy $K$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$ nên $AK$ luôn đi qua điểm $L$ đối xứng với $O$ qua $BC$

Cho hai đường tròn $(O;R),(I;r)$ tiếp xúc ngoài nhau tại điểm $P$  ($R>r$). Đường thẳng $d$ tiếp xúc với $(O),(I)$ theo thứ tự tại $A,M$, đường thẳng $l$ tiếp xúc $(I)$ tại $N$ và cắt $(O)$ tại $B,C$. Gọi $D$ là giao điểm của $l,d$ và $K$ là giao điểm hai đường phân giác trong góc $\angle{ACB}, \angle{ABD}$. Chứng minh $K,M,N$ thẳng hàng

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn có $P$ là giao điểm hai đường chéo $AC,BD$. Hạ $PE,PF$ vuông góc với $AB,CD$ tại $E,F$.$Q$ là giao của $CE,BF$. Chứng minh $PQ \perp EF$

Cho tam giác $ABC$ với đường tròn nội tiếp $(I)$ và đường tròn ngoại tiếp $(O)$. Đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $AIB$ cắt $(I)$ tại hai điểm khác nhau $X,Y$. Đường thẳng $JF$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh $(PXY)$ tiếp xúc với $(O)$.

(Kí hiệu $(O)$ đường tròn có tâm $O$, $(ABC)$ là đường tròn qua ba điểm $A,B,C$)

Giả sử $EF, CD$ cắt nhau tại $K$

Ta có hai tam giác $KEC, GFD$ đối xạ nên theo định lý Desargues ta đpcm~~.

Bài 23:

Cho các số nguyên $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ lớn hơn 1 và có tổng bằng 2013.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\sum_{i=1}^{n}\sqrt[a_i]{a_i}$

Ta sẽ cm $KF$ là phân giác góc $AKB$.

Thật vậy, ta có:  

$\angle {KBD}=\angle KAE, \angle KDB=\angle KEA$ nên hai tam giác $KAE,KBD$ đồng dạng

$\Rightarrow \frac{KA}{KB}=\frac{AE}{BD}=\frac{AF}{BF}$

đpcm~~

Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:

$(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y)$            (IranTST2012)

Có trong TLCT 10

Từ gt của bài toán ta có các kết quả quen thuộc sau:

$I,N,D$ thẳng hàng

Các điểm $I, F,Y,B,D$ đồng viên và $I, D, C, X, E$ đồng viên

Do đó: $NF.NY=NI.ND=NX.NE$

            $\frac{NX}{NY}=\frac{NF}{NE}=\frac{\sin{NAF}}{\sin{NAE}}=\frac{AC}{AB}$

ĐPCM ~~

Bạn chỉ rõ cho mình đc k??

Tìm tất cả các số $n\in\mathbb{N^*}$ sao cho $n$ có không quá 4 ước nguyên tố và thỏa mãn:

$2^{\varphi (n)}+3^{\varphi (n)}+...+(n-1)^{\varphi (n)}\equiv 0$ (mod $n$).

trong đó $\varphi(n)$ là hàm Ơle

Các bạn xem hộ mình bài 1 mãi ko hiên LATEX

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HÀ TĨNH NGÀY 1 NĂM 2013-2014

NGÀY 26/8/2013

BÀI 1:(5đ)

Giải hệ phương trình :

Để sau 18/11 em ạ

Tại sao??

Ta có:

$DIN=MCN=MAN$

$\frac{ID}{IA}=\frac{BN}{AM}=\frac{IN}{AM}(=\sin(\frac{A}{2}))$

nên hai tam giác $IDN, AIM$ đồng dạng.

$\Rightarrow$ đpcm ~~

Tìm các hàm $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(m)+f(n)=f(mn)+f(mn+m+n)$,  $\forall m,n\in\mathbb{Z}$

Một số bài tập HHP khá hay!!!!

Có phải là điểm $A$ không????(đề không nhắc đến là k $A$)

Cho tam giác $ABC$ có $AC>AB$, $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $D,E$ là chân đường cao tương ứng với $C, B$. $K,L$ là trung điểm của $ME,MD$. $KL$ cắt đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ tại $T$. Chứng minh $TA=TM$

Cho hai đường tròn $(O_{1}), (O_{2})$ cắt nhau tại hai điểm $P,Q$.$AB$ là một tiếp tuyến chung của hai đt. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BP$ cắt $O_{1}O_{2}$ tại $C$. Chứng minh $AP\perp PC$.