Nobodyv3

Có 2n điểm phân biệt nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu cách nối thành các cặp điểm sao cho khi tất cả các cặp điểm được nối với nhau bằng các đoạn thẳng thì n đoạn thẳng này không cắt nhau đôi một.

Cách khác :
Vì các số liệu vào tương đối nhỏ, nên ta tính theo casework .
Có các bộ số xuất hiện trên 3 xúc xắc :
$\begin {align*}
(1\,3\,6)\Rightarrow 3!=6 \\
(1\,4\,5)\Rightarrow 3!=6\\
(2\,2\,6)\Rightarrow 3!/2!=3\\
(2\,3\,5)\Rightarrow 3!=6\\
(2\,4\,4)\Rightarrow 3!/2!=3\\
(3\,3\,4)\Rightarrow 3!/2!=3
\end {align*}$
Do đó XS cần tính là :
$\frac {6\cdot 3+3\cdot 3}{6^3}=\frac {27}{6^3}=\frac {1}{8}$

Từ các chữ số thuộc tập hợp $S={1,2,3,...,8,9}$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $9$ chữ số khác nhau sao cho chữ số $1$ đứng trước chữ số $2$, chữ số $3$ đứng trước chữ số $4$, chữ số $5$ đứng trước chữ số $6$.

Cách lập luận khác :
Nhận thấy :
Vị trí tương đối giữa chữ số $1$ và chữ số $2$: có 2 khả năng. Tương tự, vị trí tương đối giữa chữ số $3$ và chữ số $4$, giữa chữ số $5$ và chữ số $6$ cũng có 2 khả năng. Từ đó số các số thỏa yêu cầu là :
$\frac {9!}{2\cdot 2\cdot 2 }= 45360$ số

1/ Hai bạn A và B thi đấu bóng bàn: 2 bạn thi đấu nhiều ván cho đến khi có bạn thắng chung cuộc (thắng 2 ván cách biệt). Biết xác suất để A thắng mỗi ván là 0,3 và không có ván hòa. Hỏi xác suất để A thắng chung cuộc.
2/ Chọn ngẫu nhiên 2 ô vuông từ bàn cờ vua 8x8. Hỏi xác suất để 2 quân Hậu ở 2 ô này có khả năng tấn công nhau.

Mình hiểu "tổng các chữ số $0$ và $1$ là số chẵn" có nghĩa là có $2k$ chữ số $1$ (còn có bao nhiêu chữ số $0$ cũng được). Ví dụ nếu $n=5$ thì các dãy sau đều "hợp lệ" :
$1,0,3,1,2$
$0,0,2,3,2$
Không biết hiểu như vậy có đúng ý của tác giả không ? Nếu cách hiểu đó là đúng thì xin giải như sau.
------------------------------------------------------
a) Gọi số dãy cần tính là $M$. Ta có :
$M=C_n^0.3^n+C_n^2.3^{n-2}+C_n^4.3^{n-4}+...$
$\Rightarrow 2M=(C_n^0.3^n+C_n^1.3^{n-1}+C_n^2.3^{n-2}+...)+(C_n^0.3^n-C_n^1.3^{n-1}+C_n^2.3^{n-2}-...)=4^n+2^n$
$\Rightarrow M=\frac{4^n+2^n}{2}$.
b) Gọi số dãy cần tính là $N$. Ta có :
$N=C_n^0.3^n+C_n^4.3^{n-4}+C_n^8.3^{n-8}+...$
Làm tương tự câu a, ta có : $N=\frac{4^n+2^n+(3+i)^n+(3-i)^n}{4}$.

Thank you.
Ý em là :Tổng các chữ số $0$ và $1$ là số chẵn" có nghĩa là nếu có $k$ chữ số $1$ và $l$ chữ số $0$ thì :
a/ $2\mid k+l$
b/ $4\mid k+l$.

Tính số dãy số có n chữ số lập được từ các chữ số $ \left \{ 0,1,2,3 \right \} $ mà tổng các chữ số 0 và 1 là:
a/ số chẵn.
b/ bội số của 4.

1/ Hai con kiến ở 2 đỉnh đối xứng trên một khối bát diện đều( có 6 đỉnh và mỗi đỉnh kề với 4 đỉnh khác). Đồng thời, mỗi con kiến di chuyển ngẫu nhiên về một trong 4 đỉnh kề với đỉnh mà nó xuất phát. Cuối cùng chúng gặp nhau tại một đỉnh hoặc tại một cạnh của bát diện. Hỏi xác suất để chúng gặp nhau trên một cạnh của khối bát diện này.
2/ Vốn tính hiếu động, cu Quậy cảm thấy bàn học của cu cậu hơi cao nên quyết định cưa bớt 4 chân bàn. Chân bàn cao 8 tấc (biết 1 tấc=10cm). Với mỗi chân bàn, cậu ta chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên $x, \; 0\leq x<8$ và cưa $x$ tấc cái chân này. Sau khi cưa xong 4 chân, hỏi xác suất cưa chân bàn đế bàn không khập khiễng ( có thể bàn sẽ nghiêng nhưng miễn sao 4 chân bàn đồng phẳng là OK).

Có bao nhiêu cách bỏ 10 viên bi khác nhau vào 4 hộp khác nhau sao cho:
a/ Có đúng 1 hộp có 3 viên bi
b/ Có đúng 2 hộp có 3 viên bi.
Edited : Nhận thấy trong bài OP có dữ liệu đầu vào khá lớn, không nhất thiết phải như vậy, nên mình chỉnh lại như trên cho dễ tính toán hơn.

Như vậy anh @chanhquocnghiem đã trình bày cách 1: dùng nguyên lý qui nạp, tiếp theo mình xin trình bày cách 2: lập hệ thức truy hồi.
Cách 2: Dùng hàm sinh tính nghiệm của hệ thức truy hồi :
Gọi số phần mặt phẳng được chia bởi n đường thẳng là $a_n$. Giả sử đã vẽ n-1 đường thẳng, giờ vẽ thêm đường thẳng thứ n thì số phần được thêm bằng số giao điểm được thêm cộng 1; mà số giao điểm được thêm là số giao điểm giữa đường thẳng thứ n và n-1 đường thẳng trước tức là n-1 giao điểm, do đó ta có hệ thức truy hồi :
$\begin {cases}
a_0=1\\
a_n=a_{n-1}+n, \; n\geq 1&& (*)
\end{cases}$
Đặt $A(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ . Để tính nghiệm tổng quát, ta nhân 2 vế của $(*)$ với $x^n$ rồi cho n chạy từ $1$ đến $\infty $ sau đó cộng vế với vế như sau :
$$\begin {align*}
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-\sum_{n=1}^{\infty }a_{n-1}x^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }(a_n-a_{n-1})x^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^{n+1}&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-x\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
A(x)-a_0-xA(x)&=\frac {x}{(1-x)^2}\\
A(x)(1-x)&=\frac {x}{(1-x)^2}+1\\
A(x)&=\frac {x}{(1-x)^3}+ \frac {1}{1-x} \\
A(x)&=\sum_{n=0}^{\infty }\binom {n+1}{2}x^n+\sum_{n=0}^{\infty }x^n
\end{align*}$$
Suy ra nghiệm tổng quát là :
$$a_n=\frac {n(n+1)}{2}+1=\boldsymbol {\frac {n^2+n+2}{2}}$$

Ten years later....
Nào, mời các bạn tham gia chứng minh càng nhiều cách càng tốt....

Tập biến cố kết quả thuận lợi $A'=\{\{3,6\};\{4,5\}\}$ khi xét 2 xúc xắc không thứ tự thuộc không gian mẫu :
$$\begin{array}{rrrrrrr}\{\{1,1\}; &\{1,2\}; & \{1,3\}; & \{1,4\}; & \{1,5\}; & \{1,6\}; & \\
  & \{2,2\};  & \{2,3\}; & \{2,4\};  & \{2,5\}; & \{2,6\}; &  \\  &  & \{3,3\}; & \{3,4\}; & \{3,5\}; & \{3,6\}; &  \\  &  &  & \{4,4\}; & \{4,5\}; & \{4,6\}; &  \\ & & &  & \{5,5\}; & \{5,6\}; &  \\
&  &  &  &  &
\{6,6\}\} \end{array}$$ dẫn đến kết quả không đúng $P(A')=\frac {2}{21}$, lý do là các phần tử trong không gian mẫu không cùng khả năng. Thực vậy, kết quả cho bởi 2 số khác nhau (thí dụ 1 ,2) có XS gấp đôi kết quả cho bởi 2 số giống nhau (thí dụ 2, 2).
Để hiệu chỉnh, ta thêm "trọng số " 2 cho kết quả của 2 số khác nhau và "trọng số " 1 cho kết quả của 2 số giống nhau, lúc này XS sẽ là :
$P(A')=\frac {2.2}{(1.6)+(2.15)}=\frac {1}{9}$

Một bài toán cũ (đã được các bạn posted, nhưng em không tìm ra bài OP!):
Gieo con xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để tổng số các chấm là 9.
Mình thấy khi giải bài này, một số bạn cho kết quả là $\frac {1}{9}$ và cũng có một số bạn khác cho kết quả là $\frac {2}{21}$.
Thế thì theo bạn, đáp án nào sai ? Tại sao sai? và nếu phải sửa, thì phải chỉnh lại như thế nào để được đáp án đúng?

Cho tập hợp $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm $6$ chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập $A$ đồng thời phải có mặt của $3$ chữ số $0,1,2$ và chúng phải đứng cạnh nhau.

Tùy theo vị trí của bộ thứ tự (0,1,2) mà ta có : $(0,1,2)zzz:2.2.1.A_{4}^{2}.2=96$
$z(0,1,2)zz:A_{4}^{2}.3!.2=144$
$zz(0,1,2)z:A_{4}^{2}.3!.2=144$
$zzz(0,1,2):A_{5}^{3}.2.2=240$
Tổng cộng : $624$ số

Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau trong đó số 1 phải đứng trước số 2, số 5 phải đứng trước 7?

Ta có các trường hợp :
- (1 trước 2) và (5 trước 7) hoặc (1 trước 2) và (7 trước 5).
- (2 trước 1) và (5 trước 7) hoặc (2 trước 1) và (7 trước 5).
Do các chữ số có vai trò như nhau nên số các số thỏa yêu cầu là :
$\frac {8!}{4}=10080$

@hxthanh: ...trên từng cây số, thầy không đi chơi lễ à?
Bài 2: Cách khác :
Ta có hàm sinh cho số phân hoạch n thành 3 số nguyên dương phân biệt:
$f(x)=\frac {x^6}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}$
Do đó đáp án là :
$\Rightarrow [x^{2016}]f(x)=\boldsymbol {337681}$