Bài toán : Cho bảng vuông $3X3$ và số $n$ nguyên dương cho trước.Tìm số cách tô màu không như nhau khi tô $1$ ô bởi $1$ trong $n$ màu. (Hai cách tô màu được gọi là như nhau nếu 1 cách nhận được từ cách kia qua phép quay quanh tâm bảng vuông ) 

Lưu ý : Trong một cách tô không nhất thiết phải dùng đủ $n$ màu )

http://www.mediafire...rd_-_tohop.jpeg

P/s:bài này là VMO 2010

Xét TH a,n nguyên dương ( TH còn lại không biết làm  )

dễ thấy n phải lẻ 

xét n=1, thì mọi a đều đúng

với $n\geq 3$

gọi p là một ước nguyên tố lẻ của n

$(a+1)^{n}\equiv a^{n}(mod p)$

$a+1\equiv a(modp)$ ( do n lẻ)

suy ra p / 1 (!!!)

vậy n=1

mọi a nguyên dương

TH này mình làm được rồi nhưng đây là (a,n) nguyên nên vẫn chưa giải quyết đc bài toán . Theo mình nghĩ đề bài này có vấn đề

Cho (O1) tiếp xúc ngoài với (O2) tại A,(O2) tiếp xúc ngoài với (O3) tại B,(O3) tiếp xúc ngoài với (O1) tại C,  AB cắt (O3) tại M,  AC cắt (O3) tại N. Chứng minh: MN là đường kính của (O3)

rõ ràng $O_{1}O_{2}||NO_{3},O_{1}O_{2}||O_{3}M$ suy ra đpcm

Bài 5:

giả sử số màu được tô nhiều nhất là màu đỏ suy ra có tối thiểu 100 màu đỏ, chia 100 điểm ấy vào 20 hàng và 20 cột

Gọi $a_{i}$ là số màu đỏ trong cột thứ i suy ra $\sum_{i=1}^{20}a_{i}=100$ ,khi đó số cặp tô cùng màu đỏ trong cột i là $\frac{a_{i}(a_{i}-1)}{2}$ số cặp điểm có hoành độ trùng nhau là $\sum_{i=1}^{20}\frac{a_{i}(a_{i}-1)}{2}$. Ta có $\sum_{i=1}^{20}\frac{a_{i}(a_{i}-1)}{2}\geq 200$ . Vì mỗi cặp điểm trong cột tương ứng với 1 cặp hàng , các điểm trong cùng một hàng có cùng tung độ .Số cặp hàng khác nhau là $C_{20}^{2}=190$ , từ đây suy ra đpcm

Cho tam giác $ABC$, $D;E$ lần lượt thuộc $AB;AC$ sao cho $\Delta ADE\sim \Delta ACB$. $AF$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$. Chứng minh rằng: $AF$ vuông góc $BC$

Kéo dài A cắt BC ở K .Vì $\Delta ADE\sim \Delta ACB$ nên $\angle AED=\angle DBC\Rightarrow \angle DBC=\angle AFD\Rightarrow$ BDFK nội tiếp suy ra \angle FKB+\angle BDF=180\Rightarrow \angle BFK=90^{0}

P/s : Bạn tự vẽ hình dùm mình nhé

Cho n,k là các số nguyên dương và S là tập hợp những điểm trong mặt phẳng sao cho:không có 3 điểm nào thẳng hàng, với mỗi điểm P bất kì thuộc S đều có ít nhất k điểm thuộc S cách đều P.CMR: k < $\frac{1}{2}+\sqrt{2n}$

Bài này là bài trong đề imo 1989

 

Bài 4:(3 điểm)

tìm các hàm số $f$ liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :$f(x+f(y))=f(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

NTP

Đặt $f(0)=a$ . lấy x=0,y=0 ta có $f(f(0))=f(0)\Leftrightarrow f(a)=a$, lấy x=0,y=a ta có $f(a)=2a\Rightarrow a=0\Rightarrow f(0)=0$

lấy x=0 ta có $f(f(y))=y$, lấy $x=f(y)$ ta có $f(2f(y))=f(f(y))+y$ suy ra $f(2f(y))=2y$

lấy x=y ,y thay bằng f(y) ta có $f(2y)=2f(y)$ nên $f(2y)=2y\Rightarrow f(x)=x$ ,thử lại thấy thoả mãn .

Vậy $f(x)=x$

  Tìm tất cả các hàm $f:R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa mãn :

 

           $f(ab)f(bc)f(ac)f(a+b)f(b+c)f(c+a)=2014$     với mọi $a,b,c> 0$

 

 

 

P/s: Mất nick Hoang Tung 126

Cho x=y=z=t ta có \[{\left[ {f\left( {{t^2}} \right)f\left( {2t} \right)} \right]^3} = 2014\], suy ra \[f\left( {{t^2}} \right)f\left( {2t} \right) = \sqrt[3]{{2014}}\]. Lấy x=y=t và z=1 suy ra

\[{f^2}\left( t \right){f^2}\left( {{t^2}} \right)f\left( {2t} \right){f^2}\left( {t + 1} \right) = 2014\] nên từ đây ta có \[f\left( t \right)f\left( {t + 1} \right) = \sqrt[3]{{2014}}\]

Thay t bằng t+1 suy ra \[f\left( {t + 1} \right)f\left( {t + 2} \right) = \sqrt[3]{{2014}}\] nên \[f\left( t \right) = f\left( {t + 2} \right)\]

Ta lấy z=1 ta được\[f\left( {xy} \right)f\left( x \right)f\left( y \right)f\left( {x + y} \right)f\left( {x + 1} \right)f\left( {y + 1} \right) = 2014\] suy ra \[f\left( {xy} \right)f\left( {x + y} \right) = \sqrt[3]{{2014}}\] .Lần lượt thay y=2 và y=4 ta có  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {2x} \right)f\left( {x + 2} \right) = \sqrt[3]{{2014}}}\\{f\left( {4x} \right)f\left( {x + 4} \right) = \sqrt[3]{{2014}}}\end{array}} \right. \Rightarrow f\left( {2x} \right) = f\left( {4x} \right)\] vì \[f\left( t \right) = f\left( {t + 2} \right)\] suy ra \[f\left( x \right)f\left( {x + 2} \right) = \sqrt[3]{{2014}} \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt[6]{{2014}}\]

Anh cho em cái chuyên đề trên với.

PS: công nhận CHữ kí anh hay thiệt

Chắc là cái này https://www.mediafir...la7hk3x2f8gbid8

p/s:Lúc đi thi thì nên chứng minh

Theo nguyên lí bao hàm-loại trừ, ta có:

$$f\left ( n \right )=n!\left ( 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-...+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n!} \right )$$

$g\left ( n \right )=nf\left ( n-1 \right )=n!\left ( 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-...+\frac{\left ( -1 \right )^{n-1}}{(n-1)!} \right )$

Vậy $\left | f\left ( n \right )-g\left ( n \right ) \right |=1$

Bạn làm rõ hơn giùm mình với

Cảm ơn bạn nhiều lắm! Nhưng mà mình đang cần sách để cho tiện. Nếu bạn có mong bạn có thể bán lại cho mình.Tks!

bạn vào đây đặt nè http://sachsangtao.c...an/timkiem.html

Hiện giờ em đang rất cần gấp toàn tập sách Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán. Mong anh(chị) nào có thì có thể cho hoặc bán lại cho em. Cảm ơn mọi người nhiều.

Cái này hiếm vô cùng ,lên google search mãi mới chỉ có tập 7 tổ hợp thôi https://www.mediafir...6lw4lk0nv2bfdoe

$p là số nguyên tố CMR C_{p}^{k} \vdots p$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x^2+2y^2-2xy+3x-3y+2=0$

ta có pt tương đương với \[{x^2} + (3 - 2y)x + 2{y^2} - 3y + 2 = 0\] suy ra \[\Delta  =  - 4{y^2} + 1\] vì x,y nguyên suy ra\[ - 4{y^2} + 1 = {k^2}(k \in ) \Leftrightarrow 1 = {k^2} + 4{y^2} \Rightarrow y = 0\]

nên \[{x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.\]

Tìm GTLN của $(x^2+y^2)$ biết $(x^2+y^2)^2-3x^2-4y^2+3=0$

Ta có\[{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 3{x^2} - 4{y^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 4({x^2} + {y^2}) + 3 + {x^2} = 0 \Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 4({x^2} + {y^2}) + 3 \le 0 \Rightarrow 1 \le {x^2} + {y^2} \le 3\]

Suy ra\[\max \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3\] khi x=0 và y=3

Ta xét đồ thị lưỡng phân $G=\left ( A,B,E \right )$, trong đó $A$ là tập hợp các đỉnh biểu thị các hàng, $B$ là tập hợp các đỉnh biểu thị các cột. Hai đỉnh được nối với nhau khi và chỉ khi hàng và cột tương ứng giao nhau tại một ô được tô màu.

Gọi $S\subset A$ là tập con các đỉnh thuộc $A$ và $N\left ( S \right )$ là tập hợp các đỉnh thuộc $B$ mà kề với một trong các đỉnh thuộc $S$

Số các ô đen của các hàng có đỉnh thuộc $S$ là $3\left | S \right |$

Vì mỗi cột chứa $3$ ô đen nên $\left | N\left ( S \right ) \right |\geq \left | S \right |$

Theo tiêu chuẩn Hall thì tồn tại một ghép cặp hoàn hảo từ $A$ đến $B$, suy ra đpcm.

Tiêu chuẩn Hall là gì nhỉ

Tìm tất cả các đa thức P(x) khác 0, hệ số là các số thực không âm, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2007 và thỏa mãn các điều kiện sau: $P(X)P(\frac{1}{x})\leqslant (P(1))^{2}\forall x\in (0,+\infty )$

Gọi đa thức cần tìm là \[P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + ... + {a_0},\deg \left( P \right) \le 2007\] .Theo đề bài ra ta có \[{a_i} \ge 0,\forall i = 0,1,...,n\] .Với mọi x>0 áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-schwar ta có \[P\left( x \right)P\left( {\frac{1}{x}} \right) = \left( {{a_n}{x^n} + ... + {a_0}} \right)\left( {{a_n}{x^{ - n}} + ... + {a_0}} \right) \ge {\left( {{a_n} + ... + {a_0}} \right)^2} = {\left( {P\left( 1 \right)} \right)^2}\] Kết hợp với gt ta có \[P\left( x \right)P\left( {\frac{1}{x}} \right) = {\left( {P\left( 1 \right)} \right)^2} \Rightarrow P\left( x \right) = {a_n}{x^n}\]

tài liệu chuyên đề toán học, do tập thể lớp 11a1 trường THPT Thốt Nốt sưu tầm,và biên soạn,mỗi chuyên đề sẽ được up lên mỗi tuần, chuyên đề dù biên soạn nhưng không tránh sai sót, mong đọc giả góp ý nhiều thêm cũng như chia sẻ tài liệu có liêu quan để tập thể 11a1(2014-2015) soạn chuyên đề ngày một hoàn thiện,đa dạng và phong phú hơn. Xin chân thành cảm ơn!

Những tài liệu thế này nên post ở mục thi đại học chứ nhỉ ,cái này để thi hsg thì chưa đủ đâu hơn nữa chủ đề và nội dung theo mình thì còn sơ sài

Tìm a,n để \[A = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}}}{n}\] là số nguyên

Cho n là một số nguyên dương ,cm rằng mọi ước nguyên tố của số \[A = {\left( {n + 1} \right)^{2005}} - {n^{2005}}\] có dạng 10k+1 hoặc 802k+1

Gải pt nghiệm nguyên dương t,x,y,z thoả mãn \[{2^t} = {3^x}{5^y} + {7^z}\]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

 $\left\{\begin{matrix} \vee x,y \epsilon \mathbb{R}: 2f(x)-g(x)=f(y)-y & & \\ \vee x\epsilon \mathbb{R}: f(x)g(x)\geq x+1 & & \end{matrix}\right.$

Lấy x=y=0 ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(0) = g(0)}\\{f(0)g(0) \ge 1}\end{array}} \right.\]

em có sửa lại đề rồi

Ý mình là đề sai ở chỗ là không có tập B thỏa mãn tính chất ấy mà phần tử được lấy từ tập A

Bài 1 :Từ các số 1,2,3,4,5 tạo ra được bao nhiêu số có n chữ số và chia hết cho 3

 

mình xin phép làm thử bài 1

Gọi\[{a_n}\] là số các số có n chữ số chia hết cho 3 tạo từ các số {1,2,3,4,5} và A là tập hợp các số ấy,\[{b_n}\] là số các số không chia hết cho 3 tạo từ các số {1,2,3,4,5} và B là tập hợp các số ấy .

Suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 và tập A= {1;2;...;2ⁿ}. Tìm số tập con B của A mà có tính chất : với mỗi x, y trong A mà x+y là một lũy thừa của 2 thì đúng 1 trong 2 số x, y thuộc tập B.

                                      Bài này em biết đáp số là 2ⁿ⁺¹ mà k giải được :-((((((((

Đề hình như sai

Rõ ràng 1 không thuộc B

Nếu có 2 số thuộc A thoả mãn tính chất kia giả sử là \[{2^i},{2^j}\]  với j>i ta có\[{2^i} + {2^j} = {2^k}(k > j > i) \Rightarrow 1 + {2^{j - i}} = {2^{k - i}}\] (xảy ra khi i=j là điều vô lý)