Mà đúng là tôi sai thật

Với a,b,c là các số thực dương ta có:

$x= \frac{b-c}{a}$ 

$y= \frac{c-a}{b}$ 

$x= \frac{a-b}{c}$ 

Do đó x+y+z=0 

Mặt khác $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 0$ với mọi x,y,z

Suy ra đpcm (do vế phải của bất đẳng thức $\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=0

Thay vào suy ra a=b=c

Tôi cộng lại với nhau

thông cảm nhé đánh latex lâu nên ms như thế

Ta có:$3x^{2}−18y^2+2z^2+3y^2z^2−18x=27$

$\Leftrightarrow 3x^2−18y^2+2z^2+3y^2z^2−18x−27=0$

$\Leftrightarrow 3(x^2−6^x+9)−18y^2+2z^2+3y^2z^2−54=0$

$\Leftrightarrow 3(x−3)^2−18y^2+2z^2+3y^2z^2=54$

Để pt có nghiệm nguyên thì: $z^2\vdots 3 \Rightarrow z\vdots 3 \Rightarrow z^2 \vdots 9 \Rightarrow z^2 \geq 9$

$\Leftrightarrow 3(x−3)^2 +3y^2 (z^2 −6)+2z^2 =54$

$\Rightarrow54=3(x−3)^2 +3y^2 (z^2 −6)+2z^2 \geq 3(x−3)^2 \leq 12$

$y^2 \leq 4 \Rightarrow y^2 =1$ hoặc $y^2 =4$

Với $y^2 =1\Rightarrow y=1$ pt có dạng :

$3(x−3)^2+5z^2 =72$

$\Leftrightarrow 5z^2 \leq 72$

$\Leftrightarrow z^2 =9  \Leftrightarrow z=3$

$\Rightarrow x=6$

Với $y^2 =4\Rightarrow y=2$ pt có dạng:

$3(x−3)^2 +14z^2 =126$

$\Leftrightarrow 14z^2 \leq 126$

$\Leftrightarrow z^2 \leq 9\Rightarrow z=3$

$\Rightarrow x=3$

Vậy .......

Cho ABCD nội tiếp (O;R).AB cắt CD tại M,AD cắt BC tại N.(NAB) cắt (MBC) tại K .CMR:$MK^{2}-NK^{2}=MO^{2}-NO^{2}$

Vì $x,y,z >0$ và $x\geq y\geq z$ nên 

$x^{3}(y-z)^2+y^{3}(z-x)^2+z^{3}(x-y)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{3}y^{2}+y^{3}z^{2}+z^{3}y^{2}\geq x^{3}yz+y^{3}zx+z^{2}xy$

Chia cả 2 vế cho xyz >0 ta được đpcm

Với x,y nguyên ta có :

 $4x^{4}=5y^{3}+6$

$\Leftrightarrow 4x^{4}-6=5y^{3}$

$\Leftrightarrow 2(2x^{2}-3)=5y^{3}$

Vì x,y nguyên nên $2(2x^{2}-3)\vdots 2$

Suy ra $5y^{3}\vdots 2$

Mà $(5,2)=1$

Nên ta có $y^{3}\vdots 2\Leftrightarrow y\vdots 2$ (do y nguyên)

Đặt $y=2k(k\epsilon Z)$

$\Leftrightarrow 5y^{3}=40k^{3}$

Khi đó phương trình có dạng :

$4x^{4}=40k^{3}+6$

$\Leftrightarrow 4(x^{4}-10k^{3})=6$

Ta thấy $4(4x^{4}-10k^{3})\vdots 4$

Mà 6 không chia hết cho 4 

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Cho a,b,c,d là các số thực dương.CMR:

$(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)^{2}\geq 26abcd$

Tôi nghĩ bài này nên liên hợp hoặc lập phương lên

Cho điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R). vẽ cát tuyến KAB đến đường tròn O sao cho A nằm giữa K và B,d là trung trực của KB.H là hình chiếu vuông góc của O trên d, I là trung điểm OK. tính IH theo R.

a, $\Delta$ ABO vuông tại B nên B,D,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO

    $\Delta$ ACO vuông tại C nên C,D,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO

    Do đó A,B,C,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO 

    Hay ABCO là tứ giác nội tiếp

b,Do DM và DB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau ở D nên OD là phân giác $\widehat{MOB}$

   Tương tự OE  là phân giác $\widehat{MOC}$

   Nên $\widehat{DOE}$= $\frac{\widehat{BOC}}{2}$

   Xét  $\Delta$ ABO vuông tại B có $AB^{2}+BO^{2}=AO^{2}$ (pi-ta-go)

   Mà $OA=R\sqrt{2}$, OB=R

   Suy ra AB=R

   Hay  $\widehat{AOB}$= $45^{\circ}$= $\frac{\widehat{BOC}}{2}$

   Nên  $\widehat{DOE}$= $45^{\circ}$

c+d,Nối B và K, giao của AO và BC là I

Ta có Tam giác ABO vuông cân tại C nên  $\widehat{AOB}$=$45^{\circ}$

Xét (O) ta có $\widehat{KBC}$ là góc chắn cung KC tại B $\epsilon (O)$

Và $\widehat{KOB}$ chắn cung KC tại tâm O

Do đó $\widehat{KBC}$ = $22,5^{\circ}$

Mà AO vuông góc BC tại I nên tam giác ABI vuông cân tại I

Nên$\widehat{ABI}=45^{\circ}$

DO đó BK là phân giác $\widehat{ABC}$

Hay K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Do đó BK=$\frac{AB.AC}{AB+AC+BC}= \frac{R^{2}}{R+R+R\sqrt{2}}=\frac{R}{2+\sqrt{2}}$

Cho a,b dương thỏa mãn $a+2b\geq 3$ 

Tìm min $P=\frac{3a^{2}+a^{2}b+\frac{9ab^{2}}{2}+(8+a)b^{3}}{ab}$

Tham khảo ở đây nè

https://diendantoanh...37851-7xx447y2/

Cho tứ giác ABCD có M,N là giao của các cặp cạnh đối AB và CD,AD và BC . AC cắt BD,MN tại I,J.CM $\frac{IA}{IC}=\frac{JA}{JC}$

Tìm $n\epsilon N$ , $n>1$ để $(n-1)! \vdots n$

Ta có :

$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$(*)

$\Leftrightarrow 3a^{5}+3b^{5}+3c^{5}\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Leftrightarrow 2a^{5}+2b^{5}+2c^{5}\geq a^{3}b^{2}+a^{3}c^{2}+b^{3}c^{2}+b^{3}a^{2}+c^{3}a^{2}+c^{3}b^{2}$

$\Leftrightarrow(a^{3}-b^{3})(a^{2}-b^{2})+(b^{3}-c^{3})(b^{2}-c^{2})+(c^{3}-a^{3})(c^{2}-a^{2})\geq 0$

Ta có:Cần cm $(a^{3}-b^{3})(a^{2}-b^{2})+(b^{3}-c^{3})(b^{2}-c^{2})+(c^{3}-a^{3})(c^{2}-a^{2})\geq 0$(1)

$(a^{3}-b^{3})(a^{2}-b^{2})=(a^{2}+ab+b^{2})(a-b)^{2}(a+b)\geq 0$(luôn đúng với mọi a b >0)

Tương tự 

$(b^{3}-c^{3})(b^{2}-c^{2})=(b^{2}+cb+c^{2})(b-c)^{2}(c+b)\geq 0$

$(c^{3}-a^{3})(c^{2}-a^{2})=(c^{2}+ca+b^{2})(c-c)^{2}(c+a)\geq 0$

Suy ra (1) đã đc cm

Vậy (*) luôn đúng với mọi a b c >0

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Cho a,b,c $\epsilon Z$

CMR nếu $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\vdots 6$ thì $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\vdots 6$

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:

$x^{2}(y+3)=y(x^{2}-3)^{2}$

Tìm nghiệm tự nhiên cùa phương trình $3^{x}+1=y^{2}$

Tìm p,q nguyên sao cho $\sqrt{p-2} + \sqrt{q-3} = \sqrt{pq-2p-q+1}$

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}$  tính $x^2+y^2+z^2​​$

Với $m,n\epsilon Z$ cm $mn(m^4-n^4)\vdots 30$

Cho a,b,c,d >0 tm $abc=a+b+c+2$ CM $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a + b + c)$