Tìm tất cả đa thức $P(x)$ thỏa $P(x^3+x^2+1)=P(x+2).P(x^2+1)$ với mọi $x$ thực.

Gợi ý: Trong trường hợp $P$ không phải đa thức hằng, đặt $P(x)=(x-1)^{n}+Q(x)$ với $n=\deg P$. Chứng minh $Q(x)\equiv 0$.

Có thể cho mình hỏi là tại sao biết chắc $P(x)$ sẽ có dạng đó ý bạn? Mình cần vài bước chứng minh không bạn?

Dãy số $x_{n}$ thoả $1<x_{1}<2$ và $x_{n+1}=1+x_{n}-$$\frac{1}{2}(x_{n})^2$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy.

Cho $x,y,z$ không âm và $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh: $\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\geq \sqrt{7(x+y+z)-3}$

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa:

$[P(x)]^2-2=2P(2x^2-1)$ với mọi $x$ thực.

Tính $lim\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}$

Cho dãy $(x_{n})$ xác định bởi: $x_{1}=x_{2}=1$ và $x_{n}.x_{n+2}=x_{n+1}^2+3.(-1)^{n-1}$. Tính $lim\frac{x_{n+1}}{x_{1}+x_{2}+....+x_{n}}$.

P/s: Mình có tìm được CTTQ của dãy là: $x_{n}=3x_{n-1}+x_{n-2}$, cũng chỉ ra được mọi số hạng của dãy đều là số nguyên và cũng thu gọn được: $\frac{x_{n+1}}{x_{1}+x_{2}+....+x_{n}}=\frac{3x_{n+1}}{x_{n+1}+x_{n}+1}$. 

Chứng minh đa thức $P(x)=x^5+4x^4+2x^3+5x^2-7$ bất khả quy.

P/s: Mình có thấy bài này lúc đọc về kĩ thuật rút gọn modulo $p$ nguyên tố nhưng lời giải khá khó hiểu, nếu được mong các bạn có thể làm theo kĩ thuật này.

Nếu rút gọn theo mod 2 thì $\overline{P(x)} = x^5 + x^2 + 1$vậy nếu giả sử $\overline{P(x)}$ = $a(x)$.$b(x)$ với a, b $\in$ $Z_2$ 

Xét deg a và deg b khác 1, vì nếu = 1 thì dễ thấy vô lí 

Nên $\overline{P(x)} = (x^2 + ax + b)( x^3 + cx^2 + dx + e)$tới đây đồng nhất hệ số thôi 

Mình cũng mới học cái này nên nếu giải sai bạn thông cảm nhe. 

Bạn cho mình hỏi rút gọn theo $mod 2$ cụ thể là sao ý bạn

Cho $a$ là số nguyên dương nhưng không là số chính phương. Gọi $r$ là nghiệm của phương trình: $x^3-2ax+1=0$. Chứng minh $r+\sqrt{a}$ là số vô tỉ.

Giả sử $P(x), Q(x), R(x), S(x)$ là các đa thức thỏa: $P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$. Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$.

Gọi $\varepsilon_i, i=1, 2, \cdots 5,$ là các nghiệm phức phân biệt của phương trình $x^5=1.$ Khi đó, ta có 

$$P(1)+\varepsilon_i Q(1)+\varepsilon_i^2R(1)=0$$ với mọi $i=\overline{1,5}.$

Đa thức bậc không vượt quá hai $P(1)+Q(1)z+R(1)z^2$ có hơn 2 nghiệm. Do đó, đa thức này chính là đa thức $0$. Vì thế $P(1)=0.$ Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh.

Bạn cho mình hỏi làm sao để chứng minh các nghiệm phức đó đều phân biệt vậy bạn?

Giải phương trình: $\frac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$

Chứng minh đa thức $P(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ bất khả quy với mọi số tự nhiên $n$.

Cho $m, n, a$ là các số nguyên dương và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p<a-1$. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^m(x-a)^n+p$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.

Cho $x,y,z>0$ thỏa $(x+y+z)^3=32xyz$. Tìm GTLN, GTNN của $P=\frac{x^4+y^4+z^4}{(x+y+z)^4}$.

Đánh giá hai vế tìm được $x=3$.

Cụ thể là đánh giá như thế nào vậy bạn

Xét trên trường Z_2

Bạn làm chi tiết ra giúp mình với

Tìm các cặp số nguyên $(a;b)$ sao cho tồn tại đa thức hệ số nguyên $P(x)$ thỏa mãn đa thức:

$(x^2+ax+b)P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}$

với $a_{0},a_{1},....,a_{n-1} \epsilon \left \{ -1;1 \right \}$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c)^2}\geq \frac{7}{25}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})^2$.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $(T)$ qua $A$ cắt $AB, AC$ tại $P, Q$ sao cho $\widehat{BOP}=\widehat{ABC}$ và $\widehat{COQ}=\widehat{ACB}$. Chứng minh đường thẳng đối xứng với $BC$ qua $PQ$ tiếp xúc với $(T)$.

Tìm đa thức hệ số nguyên có bậc nhỏ nhất nhận $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ làm nghiệm.

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c\geq 3$. Chứng minh:

$\frac{a^3-a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^3-b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^3-c^2}{(c+a)^2}\geq 0$

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$f(xf(y)+y^3)=yf(x)+f(y)^{3}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, đường kính $AD$. $P,Q$ đối xứng $D$ qua $CA,AB$. Trung trực $CA, AB$ lần lượt cắt $AB, AC$ tại $V, U$. Đường tròn đối xứng với $(ABC)$ qua $BC$ lần lượt cắt $CA, AB$ tại $E,F$. $(AUV)$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ tại $Y$. $X$ đối xứng $A$ qua $Y$. Chứng minh đường thẳng $PE, QF$ và đường thẳng qua $X$ vuông góc $AX$ đồng quy.