Vì u là nghiệm của pt:$ X^{2}+P_{1}X+q_{1}=0$
k là nghiệm của pt:$ X^{2}+P_{1}X+q_{1}=0$
Nên u,k cũng là nghiệm của pt: $(X^{2}+P_{1}X+q_{1})(X^{2}+P_{2}X+q_{2})=0$
$\Leftrightarrow X^{4}+(P_{1}+P_{2})X^{3}+(q_{1}+q_{2}+P_{1}P_{2})X^{2}+(P_{1}q_{2}+P_{2}q_{1})X+q_{1}q_{2}=0$
mà u,k là nghiệm của pt: $X^{4}+aX^{3}+bX^{2}+cX+d=0$
nên ta có:
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
& a=P_{1}+P_{2}\\
& b=q_{1}+q_{2}+P_{1}P_{2}\\
& c=P_{1}q_{2}+P_{2}q_{1}\\
& d=q_{1}q_{2}
\end{matrix}\right.$

Từ pt1 có:$x^{2}-2y^{2}=1$
$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=1+y^{2}$
$\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=xy+yz+xz+y^{2}$ (từ pt3)
$\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-z)=0$
$\Leftrightarrow x=-y$ (loại) hoặc $x-2y-z=0$
Với $x-2y-z=0$
$\Leftrightarrow x=2y+z$
Thay vào hệ được:
$\left\{\begin{matrix}
& (2y+z)^{2}-2y^{2}=1\\
& 2y^{2}-3z^{2}=1
\end{matrix}\right.$
Giải hệ được: $y=-z $ (loại) hoặc $z=0$
z=0 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
&x^{2}=2 \\
& y^{2}=\dfrac{1}{2}\\
& xy=1
\end{matrix}\right.$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm Min của:
$A=(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\dfrac{1}{xy+yz+zx})$

Có $2cos4x-sin2x+1=0$
$\Leftrightarrow 2(1-2sin^{2}2x)-sin2x+1=0$
$\Leftrightarrow (sin2x+1)(3-4sin2x)=0$
Bạn giải tiếp ha.....

$\3\leqslant 2^{^{|sinx|}}+2^{|cosx|}\leqslant 2^{^{\dfrac{2+\sqrt{2}}2{}}}$
giúp mình bài này với

Có $\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^{2}+b^{2}}$
$=\dfrac{4}{2ab}+\dfrac{4}{a^{2}+b^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}$
$\geq \dfrac{(2+2)^{2}}{2ab+a^{2}+b^{2}}-\dfrac{2}{(a+b)^{2}}=16$ (Áp dụng Cauchy_schawrtz) (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0.5

Bài toán: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{\sqrt {\left( {1 - y} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)} }} + \frac{y}{{\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)} }} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}} \\ (1)
\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} = \sqrt {\frac{1}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}}
\end{array} \right.$$ (2)

Đk:$ -1< x< 1$
$-1< y< 1$
Từ (2) $\Leftrightarrow x\sqrt{1-y^{2}} +y\sqrt{1-x^{2}}=1$
Thấy $x\sqrt{1-y^{2}} +y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{x^{2}+1-y^{2}}{2}+\frac{y^{2}+1-x^{2}}{2}=1$
Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow x^{2}=1-y^{2} hay x^{2}+y^{2}=1$
Lại có (1) $\Leftrightarrow x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
Mà theo C_S có $x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}$
$\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(1+x+1+y)}$
$ \leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$

pt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-yz-xz=3& \\ 3x^{2}+3y^{2}+3yz-3xz-6xy=-3& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 4x^{2}+4y^{2}+z^{2}-4xy+2yz-4zx=0$
$\Leftrightarrow (2x-y-z)^{2}+3y^{2}=0$
Đến đây đơn giản rồi......

Mình nghĩ bạn viết đề sai. Vì nếu đề bài như trên thì bài toán này không đồng bậc.
Mình nghĩ nó là thế này.
Có $\frac{xy}{x+3y+2z}+\frac{yz}{y+3z+2x}+\frac{xz}{z+3x+2y}
\leq \frac{1}{9}.xy.(\frac{1}{2y}+\frac{1}{z+y}+\frac{1}{z+x})+\frac{1}{9}.yz.(\frac{1}{2z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x})+\frac{1}{9}.xz.(\frac{1}{2x}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z})$
$= \frac{1}{9}(\frac{x}{2}+\frac{xy}{z+y}+\frac{xy}{z+x}+\frac{y}{2}+\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{z}{2}+\frac{zx}{x+y}+\frac{zx}{y+z})$
$= \frac{1}{9}(\frac{x+y+z}{2}+\frac{xy+xz}{z+y}+\frac{xy+yz}{z+x}+\frac{yz+zx}{x+y})$
$=\frac{x+y+z}{6} (Đ.P.C.M)$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Biết x>0,y>0 và x+y=2,chứng minh (x^3)+(y^3)>=2xy.

TA Có:$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$
Áp dụng bất đẳng thức AM_GM cho cặp số $x ^{2};y^{2}$ được:
$ x^{3}+y^{3}\geq (x+y)(2xy-xy)=2xy\Rightarrow Q.E.D$
Dấu "=" xảy ra khi:X=Y=1

Thấy $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ không là nghiệm của hệ
Nên từ pt1 có $x=\frac{y^{3}}{2y^{2}-1}$
Thay vào pt2 được: $(\frac{y^{3}}{2y^{2}-1})^{3}+y^{9}=2\frac{y^{3}}{2y^{2}-1}y^{4}$
$\Leftrightarrow y^{7}(\frac{y^{2}}{(2y^{2}-1)^{3}}+y^{2}-\frac{2}{2y^{2}-1})=0$
$\Rightarrow y=0$ hoặc $\frac{y^{2}}{(2y^{2}-1)^{3}}+y^{2}-\frac{2}{2y^{2}-1}=0$
+Với $y=0$$\Rightarrow$$ x=0$ là nghiệm của hệ.
+Với $\frac{y^{2}}{(2y^{2}-1)^{3}}+y^{2}-\frac{2}{2y^{2}-1}=0$ (*)
Đặt $2y^{2}-1=a$ ($a\neq 0$)
$\Rightarrow (*)\Leftrightarrow a^{4}+a^{3}-4a^{2}+a+1=0$
$\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{2}+3a+1)=0$
Giải pt nghiệm a, thế vào cách đặt ta tìm được các nghiệm của hệ.........

Có $a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$
$=(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a})+(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b})+(\frac{c}{4}+\frac{4}{c}) +\frac{a+2b+3c}{4} \geq 3+3+2+5=13$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi a=2; b=3; c=4$

Từ pt1 $\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=1$ (1)
Từ pt2 $\Leftrightarrow y(x+y)^{2}=2$ (2)
Lấy (2) chia (1) được:
$\dfrac{y(x+y)}{x^{2}-xy+y^{2}}=2$
$\Leftrightarrow y(x+y)=2(x^{2}-xy+y^{2})$
$\Leftrightarrow x(y-x)=(x-y)^{2}$
$\Leftrightarrow (x-y)(2x-y)=0$
Thay vào hệ ta tìm đươc (x;y)=....

Cái này chỉ cần dùng kiến thức đơn thuần lớp 10 thôi mà.
Có $4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}$
$=\dfrac{sinA.sinB.sinC}{2cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}}$
$=\dfrac{sinA.sinB.sinC}{(cos\dfrac{A+B}{2}+cos\dfrac{A-B}{2})cos\dfrac{C}{2}}$
$=\dfrac{sinA.sinB.sinC}{(cos\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{C}{2})+(cos\dfrac{A-B}{2}cos\dfrac{C}{2})}$
$=2\dfrac{sinA.sinB.sinC}{cos\dfrac{A+B+C}{2}+cos\dfrac{A+B-C}{2}+cos\dfrac{A-B+C}{2}+cos\dfrac{A-B-C}{2}}$
$=2\dfrac{sinA.sinB.sinC}{(cos\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{C}{2})+(cos\dfrac{A-B}{2}cos\dfrac{C}{2})}$
$=2\dfrac{sinA.sinB.sinC}{cos\dfrac{180}{2}+cos\dfrac{180-2C}{2}+cos\dfrac{180-2B}{2}+cos\dfrac{2A-180}{2}}$
$=2\dfrac{sinA.sinB.sinC}{sin\dfrac{C}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{A}{2}}$
Áp dụng công thức:$sinA=\dfrac{a}{2R}$, $sinA=\dfrac{a}{2R}$, $sinA=\dfrac{a}{2R}$
$S=\dfrac{abc}{4R}=pr$
VT$=2\dfrac{\dfrac{a}{2R}\dfrac{b}{2R}\dfrac{c}{2R}}{\dfrac{a}{2R}+\dfrac{b}{2R}+\dfrac{c}{2R}}=\dfrac{abc}{4R^{3}}.\dfrac{2R}{a+b+c}$
$=\dfrac{2S}{R.2p}=\dfrac{r}{R}$ (Đ.P.C.M)

Câu e,
Từ pt2
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}=21$
thay $x^{2}+y^{2}=7-xy $
$(7-xy)^{2}-x^{2}y^{2}=21$
$\Leftrightarrow xy=2$
Thay trở lại hệ được:
$x^{2}+y^{2}=5 và x^{4}+y^{4}=21$
Bằng phương pháp thế ta có nghiệm (x;y) cần tìm.

Câu b:
Từ pt1 và 2 có:
$x\sqrt{x}+3(y\sqrt{x}+x\sqrt{y})+y\sqrt{y}=28+3.12$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}=64$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=4$ (3)
Thay vào pt2 được:$\sqrt{x}\sqrt{y}=3$ (4)
Từ (3),(4) có $\sqrt{x},\sqrt{y}$ là nghiệm của pt: $X^{2}-4X+3=0$

Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}
&f(\sqrt{2}x)=2f (x)\\
&f(x+1)=f(x)+2x+1
\end{matrix}\right.$

Tớ xin trình bày lại:
Áp dụng hệ quả BĐT Cauchy có:
$\sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ac} + \sqrt {c + ab} \ge \sqrt {{{(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c )}^2} + {{(\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} )}^2}} $
Ta phải chứng minh:
$\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}+(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}+(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq (\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}+ab+bc+ca+2a\sqrt{bc}+2b\sqrt{ca}+2c\sqrt{ab}\geq abc+2\sqrt{abc}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq abc$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$


Mod: -Bài này mới chuẩn. Lần sau bạn nên xem xét kĩ trước khi làm bài nhé.
- Cho phép mình xóa cái quote đi cho đẹp nha và mình cũng xóa luôn bài giải chưa đúng ở trên nhé!

Từ pt2 có: $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &y=x(2y-1) \\ & x=y(2x-1) \end{matrix}$
Thay vào pt1 có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Mà theo BDT AM_GM có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}\geq 2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Dấu "=" xảy ra khi $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}=(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y+3)=0$
$\Leftrightarrow x=y=1 (x;y\geq \dfrac{1}{2})$
p/s: Mod vào sửa dùm mình cái lỗi này với. mình sửa hoài không được

Xét hàm số: $f\left( x \right) = {a^x} + {a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
Có $f'\left( x \right) = {a^x}\ln a - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}\ln a$
$$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {a^x} = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}$$
$$\Leftrightarrow a^{x-\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} $$
$$\Leftrightarrow log_{a}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=x-\sqrt{1-x^{2}}$$
$$\Leftrightarrow log_{a}x-log_{a}\sqrt{1-x^{2}}=x-\sqrt{1-x^{2}}$$
$$ \Leftrightarrow lo{g_a}x - x = lo{g_a}\sqrt {1 - {x^2}} - \sqrt {1 - {x^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
+$ 0< a< 1$, $ f(t)=log_{a}t-t$ ($0< t< 1$)

Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.lna}-1 < 0$

$\Rightarrow$ Hàm nghịch biến

$ \Rightarrow x= \sqrt{1-x^{2}}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

+$1< a\leq e $, $f(t)=log_{a}t-t$ ($0< t< 1$)

Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.lna}-1 > 0$

$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến

$\Rightarrow x= \sqrt{1-x^{2}}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$+a\in (e;+\infty )$
-Xét $f(x)=log_{a}x-x $($0< x< 1$)
$f'(x)=\dfrac{1}{x.lna}-1$
$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{lna}$
Khi đó có $f_{CĐ}=a^{\dfrac{1}{lna}}+a^{\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}}}$
-Mặt khác: $f(\sqrt{1-x^{2}})=log_{a}\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}$ ($0< x< 1$)
$f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}.lna}+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow $$ x=0$ (loại) hoặc $x=\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}} $
$f_{CT}=a^{\dfrac{1}{lna}}+a^{\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}}}$
Để pt(1) có nghiệm $\Rightarrow \dfrac{1}{lna}=\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}} $
$\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy giải pt f'(x)=0 ta tìm được nghiệm $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Từ đó có:
$f(0)=1+a$
$f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2a^{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
$f(1)=1+a$
Vẽ BBT và dựa vào từng trường hợp của a, ta tìm được Max, Min của hàm số.
p/s: Em làm vậy không biết có được không. Thấy bài này lâu quá rùi mà không có ai vào thảo luân.

Có $ab+bc+ca+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
Áp dụng AM_GM được:
$\leq ab+bc+ca+a^{3}+b^{3}+c^{3}$
$=ab+bc+ca+(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca))+3abc$
$=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc$
$\leq 3(a+b+c)^{2}-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$
$=27-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3} $
$=\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}-24(ab+bc+ca)+81}{3} $
$=\dfrac{(ab+bc+ca-12)^{2}}{3}-21$
$\leq\dfrac{(\dfrac{(a+b+c)^{2}}{3}-12)^{2}}{3}-21=6$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Xin lỗi. Không đeo kính. Bị nhầm với sin2x. Đầu óc chán thật.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
$ A = 1 - \sqrt{-x^2 + 2x + 5} $

GTLN nè:$A\leq 1$
Max đạt được
$\Leftrightarrow -x^{2}+2x+5=0$
$\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{6}$

Có:
$2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}$
$=4a^{2}b^{2}-(2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2}+a^{4}+b^{4}+c^{4})$
$=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}=(2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2})(2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2})$

@ tuithichtoan: Hình như bạn nhầm ở đâu đó rồi, sau khi thử lại thì kết quả của bạn sai

HIHI. Mình ẩu quá. Mình bỏ quên mát mũ. mình edit lại rùi đó.

1, Cho a, b, c >0.Chứng minh rằng:
a, $\dfrac{a}{{(a + b)bc}} + \dfrac{b}{{(b + c)ca}} + \dfrac{c}{{(c + a)ab}} \ge \dfrac{{27}}{{2(a + b + c)^2 }}$

áp dụng bất đẳng thức AM_GM ta được:
$\dfrac{a}{(a+b)bc}+\dfrac{b}{(b+c)ca}+\dfrac{c}{(c+a)ab}\geq 3.\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a).(abc)^{2}}}=3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)abc}}\geq 3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\dfrac{(a+b+b+c+c+a)^{3}}{27}.\dfrac{(a+b+c)^{3}}{27}}}\geq \dfrac{27}{2(a+b+c)^{2}};$ (ĐPCM)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c