Tìm tất cả các bộ chữ số x, y,z, t thỏa mãn$\sqrt{\overline{xyzt}}=\overline{xy}+\sqrt{\overline{zt}}$

Cho biết $(x+\sqrt{x^2+3})(y+\sqrt{y^2+3})=3$. Tính $M=x+y$

Ta có:

$Q=\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1$

bạn có thể giải chi tiết hơn cho mình một chút k. Cảm ơn.

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}\geq 3+\frac{(a+b)^2+(b+c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

Cho a, b, c>0. Tìm Max: $Q=\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(a+b)(b+c)}}+\frac{c}{a+\sqrt{(c+b)(a+c)}}$

n có điều kiện gì không bạn

k co ban a

Giải phương trình: $\sqrt[n]{(x+1)^2}+4\sqrt[n]{x^2-1}+3\sqrt[n]{(x-1)^2}=0$

Giải phương trình $\sqrt{x^2-x-1}+\sqrt{x-x^2+1}=x^2-x+2$

Chứng minh : $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5}...\sqrt{2000}}}}< 3$

Tìm max M= abc biết a, b,c > 0 và$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$

So sánh $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}$ và 2

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: ab+ac+bc=1

chứng minh $\frac{3a^2b^2+1}{c^2+1}+\frac{3b^2c^2+1}{a^2+1}+\frac{3a^2c^2+1}{b^2+1}\geq 3$

Cho M là số nguyên dương, tìm các chữ số x, y ($x\neq 0$) sao cho M=$\overline{xy5}+100m(m+5)$ là số chính phương

Từ giả thiết =>$z\vdots 3\rightarrow z=3m(m\epsilon \mathbb{N}*) $

=>$3x^2-18y^2+18m^2+27y^2m^2-18x=27$

$<=>x^2-6y^2+6m^2+9y^2m^2-6x=9$

=>$x\vdots 3\rightarrow x=3n(n\epsilon \mathbb{N}*) $

=>$3n^2-2y^2+2m^2+3y^2m^2-6n=3 (*)$

*Nếu $n=1$ thay vào được $-2y^2+2m^2+3m^2y^2=12$

Do $3y^2m^2-2y^2>0 =>2n^2<12 =>n^2<6 =>n \epsilon \left \{ 1;2 \right \}$

*Nếu $n \geq 2$ thì $3n^2-6n=3n(n-2) \geq 0$

Và $3y^2m^2-2y^2>0$

Nên từ (*) =>$2m^2 < 3 =>m=1$ 

=>$3n^2-6n+y^2=1$

Do $n \geq 2$ nên =>$y^2 \leq 1 =>y=1...$

Vậy phương trình có nghiệm...

 

Hình như chỗ màu đỏ bạn bị nhầm

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $2x+y+3z=6$ và $3x+4y-3z=4$

Tìm $ MIN P=2x+3y-4z$

Mình nghĩ phải là $x,y,z\geq 0$ chứ

$\left\{\begin{matrix} 2x+y+3z=6 (1)& \\ 3x+4y-3z=4(2) \end{matrix}\right.$

Từ đề bài suy ra $5x+5y=10=> x+y=2 =>y=1-x$

Thay vào (2) suy ra $z=\frac{4-x}{3}$

Thay vào P, ta được: $P=2x+3y-4z=2x+3(2-x)-4.\frac{4-x}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\geq \frac{-2}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=2-x=2 & & \\ z=(4-x):3=4/3& & \end{matrix}\right.$

Cho x,y,z>0 và x+y+z=3.

Chứng minh $M= \frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}\geq \frac{3}{2}$

bài này có thiếu gì không vậy?bạn có thể giải thích rõ hơn về đề bài không?

Đề bài đủ. Nghĩa là A với điều kiện như vậy chỉ có một số giá trị nhất định và mình phải tìm chúng.

Tìm các số nguyên dương x, y,z thỏa mãn: $3x^2-18y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=27$

Giả sử a,b,c là các số tự nhiên, từng cặp nguyên tố cùng nhau. Tính các giá trị có thể có của: $A= \frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4-2y^2=1$

$OF//AC$ chứ???????chứ.

Xin lỗi, mình đã sửa lại đề r

cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0, a,b,c khác nhau đôi một$

tính  A= $\frac{a^{2}}{a^{2}+2bc}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2ac}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2ab}$

       B=$\frac{bc}{a^{2}+2bc}+\frac{ca}{b^{2}+2ca}+\frac{ab}{c^{2}+2ab}$

a)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$ suy ra ab+ac+bc=0 => bc=-ab-ac

  $a^2+2bc=a^2+bc+bc=a^2+bc-ac-ab=(a-c)(a-b)$

Chứng minh tương tự: $A=\frac{a^2}{(a-c)(a-b)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b))}$

Quy đồng vs mấu chung (a-b)(a-c)(b-c)

b) tương tự

Cho $\Delta ABC$ có diện tích S. O nằm trong tam giác. OD// AB (D thuộc BC); OE//BC (E thuộc AC); OF// AC (F thuộc AB). Chứng minh:

$S_{DEF}\leq \frac{1}{3}S$

Tim Min: $A=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{2015}^{2}}{x_{1}(x_{2}+x_{3}+...+x_{2015})}$

với x_1,x_2,..., x₂₀₁₅ > 0

Với $a\geq b\geq c>0$ thì $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$

Theo BĐT SVac, ta có:

$M= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ba+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ac+bc)}$

Mà $(a+b+c)^2\geq 3(ab+ac+bc)$

Suy ra $M\geq \frac{3(ab+ac+bc)}{2(ab+ac+bc)}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c