Giải hệ phương trình nha!!!1

$\left\{\begin{matrix} (x-y-1)\sqrt{2(3-y^{2})}=-xy+2& & \\ y\sqrt{5-x^{2}}=x-y-4& & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình nha!!!!!!!1

$\left\{\begin{matrix} xy-x+2y=(y+1)\sqrt{x^{2}+y} & & \\ \sqrt{2y-3}+\sqrt{3x^{2}+y-2}=3x-2& & \end{matrix}\right.$

 

Bài này rất hay!

Đầu tiên nhóm hết 2 nhóm vào 1 vế thôi

$x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{4}+y^{4}-x^{2}-y^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2}(x^{2}-xy+\frac{y^{2}}{2}-1)+y^{2}(y^{2}-xy+\frac{x^{2}}{2}-1)> 0$

$\Leftrightarrow x^{3}.(x-y)+y^{3}.(y-x)+x^{2}(\frac{y}{\sqrt{2}}-1)(\frac{y}{\sqrt{2}}+1)+y^{2}(\frac{x}{\sqrt{2}}-1)(\frac{x}{\sqrt{2}}+1)> 0$

Ta có: $x> \sqrt{2}; y> \sqrt{2}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}> 1;\frac{y}{\sqrt{2}}> 1$ Nên chỉ cần chứng minh $x^{3}(x-y)+y^{3}(y-x)> 0$ là xong.

Nhưng BĐT này luôn đúng

Thật vậy $x^{3}(x-y)+y^{3}(y-x)> 0\Leftrightarrow (x^{3}-y^{3})(x-y)> 0\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})> 0$

Vậy BĐT đã được chứng minh

 

2. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $C\in$ $d$ : $x+3y+7=0$ , $A(1;5)$. Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho $MC=2BC$ ; BN vuông góc với MD tại $N(-\frac{5}{2};\frac{1}{2})$ . Tìm $B$, $C$ 

 

Bài này đầu tiên em nối $AN$, $CN$, $DB$

Ta có: $\bigtriangleup MNB\sim \bigtriangleup MCD\Rightarrow \widehat{MBN}=\widehat{MDC}\Rightarrow \diamond DNBC$ nội tiếp  $\widehat{DNC}=\widehat{DBC}$ $(1)$

Mà: $\diamond ADBN$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DNA}=\widehat{DBA}$ $(2)$

Lấy $(1) + (2)$ ta được:

$\widehat{ANC}=\widehat{ABC}=90^{\circ}$ nên $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CN}=0$

Từ đây tìm ra $C$ rồi tìm ra trung điểm đoạn $AC$ rồi tính tiếp được $B$ thôi

 

2/ Cho các số thực dương a, b. Chứng minh $\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+2b)}$

Bài này ta có: $(a+2b)(\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b})^{2}$ (Theo Bu-nhi-a-cop-ski)

Giờ chứng minh: $\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Quy đồng ta có: $\frac{a^{2}+ab+4b^{2}}{2(ab+b^{2})}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a^{2}+ab+4b^{2}\geq 3ab+3b^{2}\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

Nên $(a+2b)(\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b})^{2}\geq (\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}\Rightarrow \frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+2b)}$

Biến đổi thế nào ra được $(ay-bx)^{2}\geq 0$ vậy bạn?

Hình như đầu bài bị nhầm em à!!!!!!!!!!!!!!!!! 

Phải là $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+x)^{2}+(b+y)^{2}}$

Từ _(*) $\Rightarrow a^{2}+b^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}+x^{2}+y^{2}\geq (a+b)^{2}+(x+y)^{2}$

         $\Leftrightarrow (a+b)^{2}+(x+y)^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}-2(ab+xy)\geq (a+b)^{2}+(x+y)^{2}$

         $\Leftrightarrow 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}-2(ab+xy)\geq 0$

Đến đây theo Bunhia là ra rồi

Không ra được đâu em!!!!!!!!!!!! 

em cũng không biết nữa, bài này trong cuốn "Phương pháp giải toán BĐT và cực trị dành cho hs 8, 9" mà sách không có ghi bài giải (em copy ra đúng). Vậy nếu đề bài đúng thì có cách nào chứng minh được không ạ?

Nếu để bình thường rất dễ nhận dạng ra đây là bài toán nhỏ của Mincopski

Còn nếu chứng mình đề bài kia thì dữ kiện không đủ để chứng minh em à 

Cho a, b, c thỏa mãn $a+b+c\leq 2014$ . CMR:

$\frac{5a^{3}-b^{3}}{ab+3a^{2}}+\frac{5b^{3}-c^{3}}{bc+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-a^{3}}{ca+3c^{2}}\leq 2014$

Em chứng minh từng phần 1

Cần chứng minh: $\frac{5a^{3}-b^{3}}{ab+3a^{2}}\leq 2a-b\Leftrightarrow 5a^{3}-b^{3}\leq 2a^{2}b+6a^{3}-ab^{2}-3a^{2}b\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}-ab^{2}-a^{2}b\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$ (Luôn đúng)

nên: $\sum \frac{5a^{3}-b^{3}}{ab+3a^{2}}\leq a+b+c\leq 2014$

Cho $\Delta ABC$ có $A(-2;-1)$ , trực tâm $H(2;1)$, $BC = 2\sqrt{5}$. Gọi E,F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của $\Delta ABC$. Lập phương trình của đường thẳng BC biết trung điểm M thuộc đường thẳng (d) $x-2y-1=0$ và M có tung độ dương.

Cho đề ntnay ai làm dc? Xem kỹ lại đi! Trung điểm M ko cho của đường thẳng nào mà nếu đọc đầu bài nthe dễ hiểu theo M là trung điểm BC. mà là trung điểm BC thì ra luôn đường thẳng chứ ko cần mấy dữ kiện độ dài BC hay gì cả............chán quá đi! 

Cho $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=16 & & \\ y^2+yz+z^2=3 & & \end{matrix}\right.$.Chứng minh $xy+yz+xz\leq 8$

Ta có: $16=x^{2}+xy+y^{2}=(y+\frac{x}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2}\geq 2(y+\frac{x}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}x=\sqrt{3}xy+\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$

CMTT: $3\geq \sqrt{3}yz+\frac{\sqrt{3}}{2}z^{2}$

Cộng 2 vế vào: $19 \geq \sqrt{3}(xy+yz)+2\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}(xz)^{2}}= \sqrt{3}(xy+yz+zx)$

không đúng lắm! mọi người xem sai chỗ nào. tớ viết hướng thì thấy ntnay.........cảm ơn nha!             

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện :

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca=12$

Tìm $Min$ và $Max$ của

$A=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}+ab+bc+ca$

mình làm GTNN thôi! sai thì mọi người cùng sửa cho mk nha

Ta có: $a+b+c\leq \sqrt{3.\sum a^{2}}\Rightarrow \frac{\sum a^{2}}{a+b+c}\geq \frac{\sum a^{2}}{\sqrt{3.\sum a^{2}}}=\sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}$

Thay vào: $A=\frac{\sum a^{2}}{a+b+c}+ab+bc+ca\geq \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}+12-3\sum a^{2}$

Đặt $x=\sum a^{2}$

Ta có: $12=3\sum a^{2}+ab+bc+ca\leq 4\sum a^{2}\Rightarrow x\geq 3$

Từ đó: đặt $f(x)=\sqrt{\frac{x}{3}}+12-3x$ với $ x\geq 3$

Ta có: $f'(x)=-3+\frac{1}{3}.\frac{1}{2.\sqrt{\frac{x}{3}}}< 0$ với mọi x thỏa mãn điều kiện

Do đó hàm số luôn nghịch biến..............

Thay vào rồi ra thôi! phải ko nhỉ?           

cho $\Delta ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp và ngoại tiếp  lần lượt là $I(\frac{3}{2};\frac{1}{16}),J(1;0)$. tìm các đỉnh  $\Delta ABC$  biết tâm đường tròn bàng tiếp  $\Delta ABC$  là $K(2;-8)$

Xem lại hộ cái là I,J cái nào là ngoại tiếp, cái nào là nội tiếp

Cho tập A={0;1;2;3;4;5}.Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ A sao cho tổng 2 chữ số sau lớn hơn tổng 2 chữ số đầu 1 đơn vị.

 

Bài làm

 

Gọi số lập được là $\overline{abcd}(a\neq 0) $

 

Theo bài : a+b+1=c+d nên a+b+c+d= 2(a+b)+1 ( là một số lẻ ) nên:

 

số lập được có 1 chữ số chẵn(lẻ) và 3 chữ số lẻ(chẵn).

 

Đến đây thì mình tắc tị, bạn nào làm được giúp mình nhé.

$9=5+4$

$8=5+3$

$7=3+4=5+2$

$6=5+1=4+2$

$5=5+0=3+2=4+1$

$4=4+0$

$3=3+0=2+1$

$2=2+0$

$1=1+0$

 Từ đây ta có: 

Cặp tổng $(1,2)$ có $1!.2!$ cách

$(2,3)$ có $1!.2!.2!$ cách

$(3,4)$ có $1!.2!+2!.2!$ cách

$(4,5)$ có $1!.2!$ cách 

$(5,6)$ có $1!.(2!+2!)+2.2!(2!+2!)$ cách

$(6,7)$ có $2.2!.(2!+2!)$ cách

$(7,8)$ có $2.2!.2!$ cách

$(8,9)$ có $2!.2!$ cách

Cộng hết vào  thì ra số cách thôi

dạng này thì phải xét kiểu này thôi! đầu bài cũng sẽ cho ít số thôi........

Giải hệ phương trình

a) $\left\{\begin{matrix}2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2} & & \\ x^2+y^2=10 & & \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}(x-2)(2y-1)=x^3+20y-28 & & \\ 2(\sqrt{x+2y}+y)=x^2+x & & \end{matrix}\right.$

Bài 1:

Từ phương trình đầu ta có: $2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow 2(\sqrt{x+3y+2}-2\sqrt{y})=\sqrt{x+2}-\sqrt{y}\Leftrightarrow 2.\frac{x-y+2}{\sqrt{x+3y+2}+2\sqrt{y}}=\frac{x-y+2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y}}$

Từ đây rút ra rồi thế vào làm tiếp

Bài 2:

Từ phương trình 2: $2(\sqrt{x+2y}+y)=x^{2}+x\Leftrightarrow (2y+x)+2\sqrt{2y+x}=x^{2}+2x$

Đặt $t= \sqrt{2y+x}\geq 0$

Ta có: $f(t)=t^{2}+2t\Rightarrow f'(t)=2t+2> 0$ nên $f'(t)$ luôn đồng biến 

Suy ra $f(t)=f(x)$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất $t=x$ hay $\sqrt{2y+x}=x$

Thay vào phương trình trên rồi tính ra tiếp

Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$

Bài 2:

Ta có: $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$ (Luôn đúng)

nên: $a^{3}+b^{3}+abc\geq ab(a+b+c)\Rightarrow \frac{abc}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{c}{a+b+c}$

Chứng minh tương tự cho $b,c$ có:

$\frac{abc}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{a}{a+b+c};\frac{abc}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{b}{a+b+c}$

Cộng hết vào:

$abc.\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq 1\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Bài 1:

Chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}\Leftrightarrow \frac{3a^{3}-(2a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{3(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 0=\frac{(a+b)(a^{2}+b^{2})}{3(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 0$ Luôn đúng

Nên: $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

cho mình hỏi làm sao bạn biết tách chỗ này hay quá vậy, có phương pháp nào không ?

search tìm phương pháp nhân liên hợp  của phương trình, hệ phương trình..................      

Đọc hiểu rồi thì tự làm ăn may chắc nó ra hì hì       

Kĩ thuật tìm hệ số m,n là gì ạ

Đây là chứng minh U.C.T

http://diendantoanho...ơng-pháp-am-gm/

Chứng minh rằng phương trình : $1+cos2x=2msinx$ luôn có nghiệm.

$1+Cos2x=2m.Sinx\Leftrightarrow 1+1-2Sin^{2}x=2m.Sinx\Leftrightarrow Sin^{2}x+mSinx-1= 0$

Có: $\bigtriangleup =m^{2}+4> 0$ với mọi $m$

Nên phương trình có nghiệm thôi,

Hôm qua MM có nói chuyện mấy câu với Kimluan rồi, hơi nản 1 chút. Nhưng thôi, để cu cậu thi học kì xong đã rồi xem xét một cách nghiêm túc lại vấn đề

Sô của VA Hùng có cần ko (04 9193161)

Số này fan gọi điện hỏi được không anh?

Ta có: $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{3}+b^{3})^{2}$

 

$(a^{3}+b^{3})(a+b)\geq (a^{2}+b^{2})^{2}$

$(a^{2}+b^{2})(1+1)\geq (a+b)^{2}$

Nhân các vế vào: $2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)\Rightarrow a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}$

Mình mới chỉ nghĩ ra được phần 1 thôi. Mất cả 2 tiết toán để nghĩ.
Giờ ko tiện viết vì mình lên bằng điện thoại. Để tối mình viết lại.
Bài 1 này dồn biến ẩn t là TBC của b,c.

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

a.$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq 1+\frac{3(a^3+b^3+c^3))}{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} $

 

Ta có: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(\frac{a-b+a-c}{b+c}+\frac{b-c+b-a}{c+a}+\frac{c-a+c-b}{a+b})=\frac{1}{2}\sum (a-b)(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a})=\frac{1}{2}\sum (a-b)\frac{a-b)}{(b+c)(c+a)}=\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}$

Tiếp: $\frac{1}{2}-\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{1}{2}(1-\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})})=\frac{1}{2}\frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{1}{2}\frac{\sum (a+b)(a-b)^{2}}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Ta có BDT viết lại thành:

$\sum \frac{a}{b+c}-1-\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{\sum (a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\frac{1}{2}\frac{\sum (a+b)(a-b)^{2}}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\sum (a-b)^{2}(\frac{1}{2(b+c)(c+a)}+\frac{a+b}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})})\geq 0 \Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}\geq 1+\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ 

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

 

c.$(\frac{a}{b+c})^3+(\frac{b}{c+a})^3+(\frac{c}{a+b})^3+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} $

Ta có: $(\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}.(\frac{a}{b+c})^{3}}=\frac{3}{4}.\frac{a}{b+c}$

CMTT ta có: $(\frac{b}{c+a})^{3}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}.\frac{b}{c+a}$

$(\frac{c}{a+b})^{3}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}.\frac{c}{a+b}$

$\Rightarrow \sum (\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}\sum \frac{a}{b+c}$

Nên: $\sum (\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq \frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{4}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}=\frac{3}{4}(\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})+(1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})+(\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{5}{8})=\frac{3}{4}\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\frac{-\frac{1}{2}.\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{5}{8}.\frac{8abc-(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{3}{4}\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\frac{-\frac{1}{2}.\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{5}{8}.\frac{-\sum a(a-b)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\sum (a-b)^{2}(\frac{3}{8(b+c)(c+a)}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{a}{(a+b)(b+c)(c+a)}) $(*)$

Ta sẽ có: $S_{c}=\frac{3}{8(b+c)(c+a)}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{a}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$S_{a}=\frac{3}{8(c+a)(a+b}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{b}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$S_{b}=\frac{3}{8(a+b)(b+c)}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Không mất tính tổng quát giả sử $c\geq b\geq a$

Ta nhận thấy: $S_{c},S_{a}\geq 0$ nên theo tiêu chuẩn $S.O.S$ thì phải chứng minh: $a^{2}S_{a}+b^{2}S_{b}\geq 0$

 

http://www.wolframal...+b)(b+c)(c+a)))

 

Luôn đúng với $c\geq b\geq a$ nên $(*)$ đúng

Suy ra điều phải chứng minh       

1)Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6;AC:x+2y-9=0;M(0;4) thuộc  BC;CD đi qua N(2;8).Hãy xác định A,B,C,D biết tọa độ của C là những số nguyên

 

Ta gọi tọa độ của $C(2c;\frac{9}{2}-c)$; của $A(2a;\frac{9}{2}-a)$

Ta có: $\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{NC}=0\Leftrightarrow 2c(2c-2)+(\frac{1}{2}-c)(-\frac{7}{2}-c)=0\Leftrightarrow 5c^{2}-c-\frac{7}{4}=0$ Giải ra ta có: $c=\frac{7}{10}$ và $c=-\frac{1}{2}$ là thỏa mãn

Nhưng tọa độ C là những số nguyên nên $C(-1;5)$

Từ đây lập ra đường thẳng $DC$, $BC$ là ra hết rồi