Cho (O)
A,B thuộc (O)
Tiếp tuyến tại A,B cắt nhau tai T. C là điểm nằm trên cung nhỏ BC
Tiếp tuyến tại C cắt TA,TB tại E,F
P thuộc AB sao cho CP vuông góc AB
Chứng minh: CP là phân giác góc EPF
There have been 53 items by khanh2711999 (Search limited from 04-06-2020)
Posted by khanh2711999 on 21-03-2015 - 21:20 in Hình học
Cho (O)
A,B thuộc (O)
Tiếp tuyến tại A,B cắt nhau tai T. C là điểm nằm trên cung nhỏ BC
Tiếp tuyến tại C cắt TA,TB tại E,F
P thuộc AB sao cho CP vuông góc AB
Chứng minh: CP là phân giác góc EPF
Posted by khanh2711999 on 30-01-2015 - 23:12 in Bất đẳng thức - Cực trị
Có ai biết bổ đề chặn tích của anh Võ Quốc Bá Cẩn thì chỉ cho mình với. Có tài liêu thì càng tốt.
Posted by khanh2711999 on 21-08-2014 - 21:22 in Dãy số - Giới hạn
Tính:
$\sum_{k=1}^{n}\frac{6^{k}}{(3^{k}-2^{k})(3^{k+1}-2^{k+1})}$
Posted by khanh2711999 on 19-06-2014 - 19:51 in Bất đẳng thức và cực trị
$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}+(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \geqslant 0$
$\Leftrightarrow$ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 3 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2zx + 2x + 2y + 2z
$\Leftrightarrow$ 12 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2xz + 2x + 2y +2z
$\Leftrightarrow$ 6 $\geqslant$ xy + yz + zx + x + y +z
Posted by khanh2711999 on 26-03-2014 - 23:35 in Tổ hợp và rời rạc
đa giác này có 7 cạnh
=> tồn tại 2 đỉnh kề nhau cùng màu, giả sử là A,B đỏ
=> trung trực AB sẽ đi qua 1 điểm là đỉnh của đa giác này, g/s điểm đó là C
nếu C đỏ => tam giác ABC cân thỏa mãn đề bài
nếu C xanh ta xét:
gọi điểm kề vs A khác B là A1 => A1 xanh
B A B1 => B1 xanh
=> tam giác CA1B1 thỏa mãn đề bài
nếu thay đa giác đều này = đa giác đều có cạnh lẻ thì bài toán vẫn đúng, c/m tương tự như trên
Posted by khanh2711999 on 26-03-2014 - 23:21 in Số học
x+1 $\vdots$ y => x+1 $\geqslant$ y (1)
y+1 $\vdots$ x => y+1 $\geqslant$ x => y$\geqslant$ x-1 (2)
(1)(2) => x+1 $\geqslant$ y $\geqslant$ x-1
+) xét y= x+1 => x+2 $\vdots$ x => 2$\vdots$ x
=> x =1 thì y = 2
hoặc x=2 thì y=3
+) y=x
=> x+1 $\vdots$ x => x=1 => y=1
+) y= x-1
=> x+1 $\vdots$ x-1 => 2$\vdots$ x-1
=> x=2 thì y=1
hoặc x=3 thi y=2
Posted by khanh2711999 on 23-03-2014 - 23:56 in Bất đẳng thức và cực trị
áp dụng AM=GM$\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geqslant \frac{4}{a+3b+1+1+1}$
tương tự:
$\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}\geqslant \frac{4}{b+3c+1+1+1}$
$\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}\geqslant \frac{4}{c+3a+1+1+1}$
AD Cauchy Schwarz cho 3 cái trên => đpcm
Posted by khanh2711999 on 24-02-2014 - 21:33 in Các dạng toán khác
tìm a,b là số hữu tỉ để:
$\frac{3}{a+b\sqrt{3}}-\frac{2}{a-b\sqrt{3}}=7-\sqrt{2013}$
Posted by khanh2711999 on 05-02-2014 - 22:26 in Số học
tìm p,q nguyên tố sao cho:
p2 -pq +2q2 và 2p2 + pq + q2 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Posted by khanh2711999 on 27-01-2014 - 15:30 in Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{a^{2}}{a+b}+ \frac{a+b}{4}$ $\geqslant a$$\geqslant a$
tương tự $\frac{b^{2}}{b+c}+ \frac{b+c}{4}\geqslant b$
$\frac{c^{2}}{a+c}+ \frac{a+c}{4}\geqslant c$
cộng lại, trừ đi => ra $\frac{c^{2}}{a+c}+ \frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geqslant \frac{1}{2}$
Posted by khanh2711999 on 31-12-2013 - 21:22 in Hình học
bạn tự vẽ hình
gọi E là trung điểm BC
F là trung điểm AD
AB cắt CD tại K
theo bổ đề hình thang $\Rightarrow$ K,E,F thẳng hàng
từ E kẻ EN // AB
$\Rightarrow$ ABEN là hình bình hành
$\Rightarrow$ BE=AN ; góc A = góc ENF ( đồng vị) (1)
góc A + góc D = 90 độ
$\Rightarrow$ góc AKD = 90
$\Rightarrow$ tam giác AKD vuông tại K có đường trung tuyến KF
$\Rightarrow$ góc A = góc AKF (2)
NE// AB ( cách vẽ) $\Rightarrow$ góc AKF = góc NEF (3)
(1)(2)(3) $\Rightarrow$ góc ENF = góc NEF
$\Rightarrow$ tam giác ENF cân
$\Rightarrow$ FN= FE (4)
FN = FA - NA
= FA - BE
= $\frac{AD-BC}{2}$ (5)
(4) VÀ (5) suy ra đpcm
Posted by khanh2711999 on 31-12-2013 - 20:54 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
phương trình tương đương
( x2 + 8x + 12)( x2 + 7x +12) = 420x2
đặt x2 + 7,5x + 12 = k
phương trình $\Leftrightarrow$ k2 - 0,25x2 = 420x2
$\Leftrightarrow$ k2 = 420,25x2
$\Leftrightarrow$ th1: k= 20,5x
suy ra: x2 + 7,5x + 12 = 20,5x
$\Leftrightarrow$ x=1 hoặc x=12
k= -20,5x
$\Leftrightarrow$ x2 + 7,5x + 12= -20,5x
$\Leftrightarrow$ x=$-14+2\sqrt{46}$ hoặc x= $-14-2\sqrt{46}$
Posted by khanh2711999 on 23-12-2013 - 20:10 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
2) phương trình tương đương
$\sqrt{3x^{2}-7x+3}$ - $\sqrt{3x^{2}-5x-1}$ = $\sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$
giả sử vế trái $\geqslant 0$
suy ra 3x2 - 7x +3 $\geqslant$ 3x2 - 5x - 1
suy ra 2$\geqslant$ x (1)
vế trái $\geqslant$ => VP $\geqslant$ 0
=>x2 - 2 $\geqslant$ x2 - 3x +4
=> x $\geqslant$ 2 (2)
(1)(2) => x=2
Posted by khanh2711999 on 27-09-2013 - 22:53 in Số học
tìm nghiệm nguyên:
x2 + 3y2 = x( 3y + 1)
Posted by khanh2711999 on 17-09-2013 - 14:36 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Đặt $\sqrt[4]{x-1}=a$
$\sqrt[4]{x+1}=b$
suy ra phương trình có dạng:
$a^{2}+\frac{b^{2}}{2}=\frac{3ab}{2}$
$\Leftrightarrow$ $2a^{2}+b^{2}-3ab=0$
$\Leftrightarrow$ ( a-b)( 2a - b) =0
th1: a=b
$\Leftrightarrow$ $\sqrt[4]{x-1}=\sqrt[4]{x+1}$ ( loại)
th2 2a = b
$\Leftrightarrow$ $2\sqrt[4]{x-1}=\sqrt[4]{x+1}$
$\Leftrightarrow$ x = $\frac{17}{15}$ ( chọn)
Posted by khanh2711999 on 16-09-2013 - 20:18 in Số học
giải pt nghiệm nguyên $x^2+y^2+z^2=xyz$
áp dụng BĐT côsi cho 3 số
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$
dấu = khi và chỉ khi x=y=z
x2 + y2 +z2 = xyz
$xyz\geqslant 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{x^{3}y^{3}z^{3}}{27}\geqslant (xyz)^{2}$
dấu = khi x=y=z suy ra:
$\frac{x^{3}y^{3}z^{3}}{27}- (xyz)^{2}=0$
giải pt ta đc:
x = y = z =0 ( chọn)
hoặc x = y =z = 3 ( chọn)
Posted by khanh2711999 on 16-09-2013 - 19:43 in Đại số
$26+15\sqrt{3}=3\sqrt{3}+12\sqrt{3}+18+8$
= $(2+\sqrt{3})^{3}$
tương tự $26-15\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^{3}$
suy ra A= 2 +2 + $\sqrt{3}-\sqrt{3}$$\sqrt{3}-\sqrt{3}$
= 4
vậy A = 4
Posted by khanh2711999 on 15-09-2013 - 13:34 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
phương trình có dạng:
$\sqrt{2(x+1)(x+3)}+\sqrt{(x-1)(x+1)}-2(x+1)=0$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+1}(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1})=0$
$\Leftrightarrow$ th1: x = -1 ( thỏa mãn đkxđ)
th2 $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1}=0$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2x+3}=2\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$
$\Leftrightarrow$ $2x+6=5x+3-4\sqrt{x^{2}-1}$
$\Leftrightarrow$ $3(x-1)-4\sqrt{(x-1)(x+1)}=0$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x-1}(3\sqrt{x-1}-4\sqrt{x+1})=0$
$\Leftrightarrow$ th1: x=1 ( thỏa mãn đkxđ)
th2: x= $x= \frac{-25}{7}$ ( ko thỏa mãn)
vậy tập nghiệm của phương trình là S={ 1;-1}
Posted by khanh2711999 on 11-09-2013 - 21:03 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$x+\frac{1}{x}=k$
$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=k^{3}-3k$
$\Rightarrow$ phương trình có dạng
$\Leftrightarrow$$4k^{3}-12k-14k=0
$\Leftrightarrow$ 4k3 - 26x = 0
$\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 0;$\frac{\sqrt{26}}{2}$; $\frac{-\sqrt{26}}{2}$}
Posted by khanh2711999 on 11-09-2013 - 20:41 in Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{2x+y+z}$ ( hệ quả của BĐT Cô-Si)
tương tự
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+2y+z}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+y+2z}$
$\Rightarrow$ $\frac{16}{2x+y+z}+\frac{16}{x+2y+z}+\frac{16}{x+y+2z}\leqslant 16$
$\Rightarrow đpcm$$\Rightarrow đpcm$
Posted by khanh2711999 on 07-09-2013 - 14:30 in Bất đẳng thức và cực trị
a)
đặt;
a + b - c = x
b + c - a = y
c + a - b = z
$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$
b = $\frac{x+z}{2}$
c = $\frac{x+y}{2}$
$\Rightarrow$ ta cần chứng minh:
$xyz \leqslant \frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}$
ta có $\sqrt{xy}\leqslant \frac{x+y}{2}$
$\sqrt{yz}\leqslant \frac{y+z}{2}$
$\sqrt{xz}\leqslant \frac{x+z}{2}$
Nhân vào $\Rightarrow$ ta có đpcm
b) Đặt
b + c -a = x
a + c -b = y
a + b -c = z
$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$
b = $\frac{x+z}{2}$
c = $\frac{x+y}{2}$
$\Rightarrow$ ta cần chứng minh :
$\frac{y+z}{2x}+\frac{x+y}{2z}+\frac{z+x}{2y}\geqslant 3$
$\Leftrightarrow \frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}+\frac{z+x}{y}\geqslant 6$
$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{z}+\frac{z+y+x}{y}\geqslant 9$
$\Leftrightarrow (x+y+z).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant 9$
BĐT trên luôn đúng suy ra có điều phải chứng minh
Posted by khanh2711999 on 04-09-2013 - 22:55 in Đại số
$a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=1$ và a2008 + b2008 + c2008 = 1
Tính a2007 + b2007 + c2007 = ?
Posted by khanh2711999 on 02-09-2013 - 16:19 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
phương trình có dạng:
$x^{4}+x^{3}+x^{2}-9x+6 = -1$
$\Leftrightarrow (x-1)(x^{3}+2x^{2}+3x-6)= -1$
$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{2}+3x+6)=-1$
$\Leftrightarrow$ phương trình vô nghiệm
Posted by khanh2711999 on 02-09-2013 - 16:00 in Đại số
1) g)
x8 + x7 + 1
= x8 + x7 + x6 - x6 - x5 - x4 + x5 + x4 + x3 - x3 - x2 - x + x2 + x + 1
= (x8 + x7 + x6) - (x6 + x5 + x4) + (x5 + x4 + x3) - (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= ( x2 + x + 1)( x6 - x4 + x3 - x + 1)
Posted by khanh2711999 on 01-09-2013 - 12:37 in Đại số
$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}} = k$ (1)
$\Leftrightarrow {6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}} = k^{2}$
$\Leftrightarrow {\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}} = k^{2}-6$ (2)
6 lặp đi lặp lại vô hạn lần
$\Leftrightarrow$ k = k2 - 6
giải phương trình này ra ta có k = 3 hoặc k = -2
biểu thức này luôn > 0 $\Rightarrow$ k = -2 ( loại)
$\Rightarrow$ biểu thức này = 3
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học