Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi một biến bằng $0$ và hai biến còn lại bằng nhau, ta sẽ chứng minh
\[ \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\ge\frac{10}{(a+b+c)^2}.\]
Ý tưởng bài này là giả sử $c=\min(a,b,c)$, khi đó
\[a^2+b^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2+\left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad b^2+c^2\le \left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad c^2+a^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2.\]
Phần còn lại chỉ cần chứng minh $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge \frac{10}{(x+y)^2}$ với $x=a+\frac{c}{2}$ và $y=b+\frac{c}{2}$. Bài toán hai biến này thì không quá khó, bạn tự giải quyết nhé.
Ghi chú. Một số bài toán hoàn toàn tương tự, tham khảo ở đây và đây.