Ta có : $VT= \frac{a^{4}}{ab}+\frac{b^{4}}{bc}+\frac{c^{4}}{ca}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab+bc+ca}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$2. Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh : $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a} \geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$
$= \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\geq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ac+ba+cb)}$
$\geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$ (Cauchy-schwarz )
Đ.P/C.M
AM-GM1. Cho a,b,c là các số không âm a,b,x,y biết $a^{10}+b^{10}\leq 1$ và $x^{10}+y^{10}\leq 1$. Chứng minh : $a^{7}x^{3}+b^{7}y^{3}\leq 1$
$x^{10}+x^{10}+x^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}\geq 10a^{7}x^{3}$
$y^{10}+y^{10}+y^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}\geq 10b^{7}y^{3}$
$\Rightarrow 10(a^{7}x^{3}+b^{7}y^{3})\leq 3(x^{10}+y^{10})+7(a^{10}+b^{10})\leq 10\Rightarrow a^{7}x^{3}+b^{7}y^{3}\leq 1$