Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh 

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq\frac{3}{4}$

Bài này có thể giải đơn giản hơn bằng pp biến đổi tương đương

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(c+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 4a(c+1)+4b(a+1)+4c(b+1)\geq 3(a+1)(b+1)(c+1)\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\geq 6$  (2)

(2) luôn đúng  vì $ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3$ và $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (do $abc=1$)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2^{x}+1=xy$

2b

 ta có $2x^{2}+3x+2>0 \Rightarrow y^{3}>x^{3}$

mà $4x^{2}+9x+6 >0 \Rightarrow y^{3}=x^{3}+2x^{2}+3x+2<(x+2)^{3}$

Nên ta có $x^{3}<y^{3}<(x+2)^{3}\Rightarrow y^{3}=(x+1)^{3}\Rightarrow x^{3}+2x^{2}+3x+2=(x+1)^{3}$

Tới đây dễ rồi

$m>3$ nên $m\geq 4,$ do đó $2m(m-4)+1>0 \Rightarrow (m^2-2m)^2<A$

Lại có $A<(m-1)^4=(m^2-2m+1)^2$

Nên $(m^2-2m)^2<A<(m^2-2m+1)^2$

Từ đó có điều phải chứng minh.

bài toán đâu cho m nguyên đâu @@

Cho a, b, c là các số nguyên dương. So sánh:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$ và 1

ta có a,b,c >0 nên

$\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}$

$\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}$

$\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}$

$\Rightarrow \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}> \frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

Cho a,b,c >0 chứng minh:

$\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng BĐT: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+xz$ ta có

$\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geqslant \frac{a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{a^{2}b^{2}c^{2}(ab+bc+ca)}{a^{3}b^{3}c^{3}}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Anh giải như thế này...chưa biết đúng hay sai nữa :

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là biệt thức là một chính phương :

$\Delta =(m-1)^{4}-4m=k^{2}(k\in \mathbb{Z})\\$

Đặt $y=m-1 ( y \in \mathbb{Z})$ khi đó :

$(m-1)^{4}-4m=y^{4}-4(y+1)=y^{4}-4y-4\\=(y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}-9=k^{2}\\ \Leftrightarrow (y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}=m^{2}+3^{2}\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=m\\ 2y-1=3 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=3\\ 2y-1=m \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} m=y^{2}-2=2\\ y=2(TM) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}=5(L)\\ m=2y-1 \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix}$

Suy ra $m=3$.Thử lại phương trình ban đâu ta thấy thỏa mãn.

Vậy $m=3$ là yêu cầu của bài toán.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

sao em thay m=0 vào vẫn thỏa mãn bài toán mà @@

Bài 1:(2 điểm)

a) Giải phương trình :                           $\sqrt{x+1}=x-2$

b)Tìm chiều dài của một hình chữ nhật có chu vi là $a$(mét),diện tích là $a$(mét vuông) và đường chéo là $3\sqrt{5}$(mét)

Bài 2:(2 điểm)

Cho phương trình $(\sqrt{x}-1)(x^2-5x+m-1)=0$ (1)

a)Giải phương trình (1) khi $m=-1$

b)Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ thỏa

            $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+x_{1}.x_{2}+x_{2}.x_{3}+x_{3}.x_{1}=31$

Bài 3:(2 điểm)

a)Với $0< b< a$,hãy rút gọn biểu thức :

$P=(\frac{1}{\sqrt{1+a}-\sqrt{a-b}}+\frac{\sqrt{a+2+b}-\sqrt{a-b}}{b+1}-\frac{1}{\sqrt{1+a}+\sqrt{a-b}}):(1+\sqrt{\frac{a+2+b}{a-b}})$

b)Giải hệ phương trình   $\left\{\begin{matrix} (x-y)^2=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\\x-y=xy-2 \end{matrix}\right.$

Bài 4:(1 điểm)

Có hai vòi nước A,B cùng cung cấp cho một hồ cạn nước và vòi C(đặt sát đáy hồ)lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới cây.Đúng 6 giờ,hai vòi A và B được mở;đến 7 giờ vòi C được mở;đến 9 giờ thì đóng vòi B và vòi C;đến 10 giờ 45 phút thì hồ đầy nước.Người ta thấy rằng nếu đóng vòi B ngay từ đầu thì phải dùng đến đúng 13 giờ hồ mới đầy.Biết lưu lượng vòi B là trung bình cộng của lưu lượng A và vòi C,hỏi một mình vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?

Bài 5:(3 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC(AC=2a) sao cho tam giác ABC đều.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD

a)Tính BC và CN theo a

b)Gọi H là trực tâm tam giác CMN,MH cắt CN tại E,MN cắt AC tại K.Chứng minh năm điểm B,M,K,E,C cùng thuộc một đường tròn(T)

Đường tròn (T) cắt BD tại $F(F\neq B)$,tính DF theo a

c)KF cắt ME tại I.Chứng minh KM tiếp xúc vời đường tròn ngoại tiếp tam giác MIF.Tính góc IND

Chứng minh rằng $n$ đường tròn trong mặt phẳng chia mặt phẳng ra không quá $n^{2}-n+2$ miền 

Lưu ý: Trả lời cách làm chứ không phải đáp án
1) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. có $AB=5cm$ và $BC=10cm$. Gọi $M;N;P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;BC;CA$. Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ là ... $(cm)$ (Kết quả lẻ)

Dễ dàng chứng minh được $\Delta MNP$ vuông tại $N$ và $MP=\frac{BC}{2}=5$ (cm)

từ đó tính được chu vi đường tròn ngoại tiếp $\Delta MNP$ : $C= 2R\Pi =5\Pi$ (cm)

2) Cho pt: $\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{x^2}{(x+1)^2}=\frac{10}{9}$

Tập hợp nghiệm của pt là : ...

ĐK:$x\neq 1,-1$

Ta có phương trình $\Leftrightarrow 8x^{4}+38x^{2}-10=0$

đưa về phương trình trùng phương và giải ta được $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{-1}{2}$ (TMĐK)

Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

Chắc điều kiện là x,y>0

Ta có: 

$B=x^{2}y^{2}+\frac{1}{32x}+\frac{1}{32x}+\frac{1}{32y}+\frac{1}{32y}+\frac{15}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 5\sqrt[5]{\frac{x^{2}y^{2}}{2^{20}x^{2}y^{2}}}+\frac{15.4}{16(x+y)}=2\frac{5}{16}+\frac{15}{4}=\frac{65}{16}$

Nếu x,y >0 thì mình còn 1 cách giải khác

$B= x^{2}y^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= \frac{1}{64xy}+\frac{1}{64xy}+x^{2}y^{2}+\frac{31}{32xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64xy}.\frac{1}{64xy}.x^{2}y^{2}} + \frac{31.4}{32(x+y)^{2}}$

$\Rightarrow B\geq \frac{3}{16}+\frac{31}{8}=\frac{65}{16}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ 

Bài 1: Cho $x, y \geq 0$ ; $x + y = 1$

Tìm min, Max của $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}$

Ta có 

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^{2}+x+y^{2}+y}{xy+1+x+y}=\frac{x^{2}+y^{2}+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^{2}-2xy+1}{xy+2}$

$\Rightarrow P=\frac{2-2xy}{xy+2}$

Có: $xy \leq \frac{1}{4}$

Đặt $xy=t$ thì $0\leq t\leq \frac{1}{4}$

Khi đó $P = \frac{2-2t}{t+2}=-2 +\frac{6}{t+2}$

$min P \Leftrightarrow min\frac{6}{t+2} \Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\Rightarrow min P = \frac{2}{3}$

Tương tự tìm được $maxP = 1 \Leftrightarrow$ một trong 2 số $x,y$ có một số bằng 0, một số bằng 1

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn; AC cắt BD tại E. Nếu $\widehat{BAD}=75^{\circ};\widehat{ABC}=85^{\circ};\widehat{AEB}=100^{\circ}$. Tính $\widehat{CAD}$

Do tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên ta có $\angle CAD = \angle CBD$ (1)

Xét $\Delta AEB$ ta tính được $\angle EAB +\angle ABE = 80^{\circ}$

$\Rightarrow \angle CAD +\angle CBD = 80^{\circ}$ (2)

Từ (1) và (2) dễ dàng suy ra $\angle CAD =40^{\circ}$

Tìm (x;y) với y lớn nhất thỏa mãn phương trình $x^{2}+y^{2}+6x-3y-2xy+7=0$. Tính x-y

Ta viết lại phương trình theo ẩn x, tham số y

$x^{2}+2x(3-y)+y^{2}-3y+7=0$

Phương trình đã cho có nghiệm$\Leftrightarrow \Delta '=(3-y)^{2}-(y^{2}-3y+7)=-3y+2 \geq 0$

$\Leftrightarrow y\leq \frac{2}{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x= y-3 =\frac{2}{3}-3=-\frac{7}{3}$

$\Rightarrow (x;y)=(-\frac{7}{3};\frac{2}{3})$

Từ đó tính được $x-y =-3$

Cho 3 số $a, b, c$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 & \\ a^{3}+b^{3}+c^{3}=1 & \end{matrix}\right.$

Tính tổng $M=a+b^{2}+c^{3}$

Trừ từng vế hai phương trình ta được 

$a^{2}(1-a)+b^{2}(1-b)+c^{2}(1-c)=0$ (1)

Ta chứng minh 1-a, 1-b , 1-c đều không âm.

Giả sử 1-a <0 thì a>1 $\Rightarrow a^{2}>1 \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}>1$ (trái với gt)

Do đó 1-a,1-b,1-c không âm nên từ (1) dễ dàng suy ra một trong ba số có 2 số bằng 0 và một số bằng 1

từ đó tính được giá trị biểu thức

Làm sao ra được như vậy

Đề thực ra thế này:
 

 

(D;E;F thuộc AB;BC;CA);BF cắt đường tròn tại I; DI cắt BC tại M.

1. Cm: $DEF$ có 3 góc nhọn

2. Cm: $DF//BC$
3. Cm: $BDFC$ nội tiếp

4. Cm: $BD.CF=BM.BC$

c) Dễ thấy $\angle ADF =\angle ABC =\angle BCA$ ( do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

nên tứ giác $BDFC$ nội tiếp

d) Ta có $\angle BDM =\angle DFI =\angle FBC$  và $\angle BDM =\angle FCB$ 

Nên $\Delta DBM \sim \Delta BCF$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{BD}{BC}= \frac{BM}{CF}\Rightarrow BD.CF=BC.BM$ (ĐPCM)

p/s: mình không kịp vẽ hình nha

Cho hình vuông lấy điểm I ở trong hình vuông sao cho $\Delta DIC$ cân tại I có $\angle IDC=15^{0}$. Chứng minh rằng $\Delta BAI$ đều

Vẽ $\Delta CIN$ đều , $N$ nằm trong $\Delta CIB$

Dễ thấy $\angle DIC =150^{\circ}$

Ta có $\Delta IDC = \Delta NBC$ (c-g-c)

$\Rightarrow \angle CNB =150^{\circ}$

$\Rightarrow \angle INB = 360^{\circ}-\angle INC-\angle BNC=150^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta INB=\Delta CNB$(c-g-c)

Từ đó dễ dàng $\Rightarrow \angle IBC =30^{\circ}\Rightarrow \angle ABI =60^{\circ}$ (1)

Ta có $IB=BC=AB$ nên $\Delta AIB$ cân tại B(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

p/s:  bạn tự vẽ hình nhé

Giải phương trình 

$x^{3}+x^{2}+x+2=0$

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O).Gọi T là điểm chính giữa cung BC không chứa A.Lấy E là điểm bất kì trên AB.Gọi I là giao điểm ET với BC.Đường vuông góc với EI tại I cắt AC tại F.Chứng minh EF=BE+CF

Cho tam giác ABC(AB<AC) và các tam giác cân BAD,CAE(BA=BD,CA=CE) sao cho D nằm khác phía với C đối với AB,E nằm khác phía đối với B đối với AC và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh MD=ME

Câu 1.(4 điểm)

a) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là một số nguyên

b)Cho số n nguyên dương tùy ý .Xét ba số tự nhiên là $a=11...1$(có 2n chữ số 1),$b=11...1$(có n+1 chữ số 1) và $c=66...6$(có n chữ số 6).Chứng minh rằng $a+b+c+8$ là một số chính phương

Câu 2.(4 điểm)

a)Cho x,y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2\leq x+y$.Chứng minh rằng $x+y\leq 2$

b)Giải phương trình $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=15$

Câu 3.(4 điểm)

a)Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (x+y+z)^2=3(xy+yz+xz)\\ x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3^{2014} \end{matrix}\right.$

b)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình $x^3-y^3+2x^2+3x+1=0$

Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

$f(x)=\left | x-1 \right |+2\left | x-2 \right |+3\left | x-3 \right |+4\left | x-4 \right |+5\left | x-5 \right |$

Câu 5.(4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=8cm,AC=6cm.Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với hai cạnh AB,BC lần lượt tại E,F.Tia AO cắt EF  tại K.Chứng minh rằng tứ giác KFCO nội tiếp và tính diện tích tam giác OKC

Câu 6.(2 điểm) Cho tam giác ABC đều.Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\widehat{BAM}=15^o$ .Đường thẳng qua điểm C và song song với đường thẳng AB cắt đường thẳng AM tại điểm N.Chứng minh rằng $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{3}{4AB^2}$

 

Bài toán: Cho hai đườn tròn $(O)$ và $(O')$ giao nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Qua $A$ kẻ cát tuyến $CAD$ cắt $(O)$ và $(O')$ theo thứ tự tại C và D. Chứng minh rằng: Đường trung trực đoạn CD luôn đi qua 1 điểm cố định  

 

Kẻ đường kính $AOK$ và $AO'H$.Ta có cát tuyến chung $KBH$ cố định.

Gọi $N$ là trung điểm của $CD$. 

Đường trung trực của $CD$ đi qua $N$ và cắt $KH$ tại $I$.

Dễ thấy $I$ là trung điểm của $KH$ nên $I$ cố định.

Vậy $I$ là điểm cố định cần tìm.

Kẻ đường kính $AOK$ và $AO'H$.Ta có cát tuyến chung $KBH$ cố định.

Gọi $N$ là trung điểm của $CD$. 

Đường trung trực của $CD$ đi qua $N$ và cắt $KH$ tại $I$.

Dễ thấy $I$ là trung điểm của $KH$ nên $I$ cố định.

Vậy $I$ là điểm cố định cần tìm.