Cho (O)

A,B thuộc (O)

Tiếp tuyến tại A,B cắt nhau tai T. C là điểm nằm trên cung nhỏ BC

Tiếp tuyến tại C cắt TA,TB tại E,F

P thuộc AB sao cho CP vuông góc AB

Chứng minh: CP là phân giác góc EPF

Có ai biết bổ đề chặn tích của anh Võ Quốc Bá Cẩn thì chỉ cho mình với. Có tài liêu thì càng tốt. 

Tính:

$\sum_{k=1}^{n}\frac{6^{k}}{(3^{k}-2^{k})(3^{k+1}-2^{k+1})}$

$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}+(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ 3x² + 3y² + 3z² + 3 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2zx + 2x + 2y + 2z

$\Leftrightarrow$ 12 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2xz + 2x + 2y +2z

$\Leftrightarrow$ 6 $\geqslant$ xy + yz + zx + x + y +z

đa giác này có 7 cạnh 

=> tồn tại 2 đỉnh kề nhau cùng màu, giả sử là A,B đỏ 

=> trung trực AB sẽ đi qua 1 điểm là đỉnh của đa giác này, g/s điểm đó là C

nếu C đỏ => tam giác ABC cân thỏa mãn đề bài

nếu C xanh ta xét:

gọi điểm kề vs A khác B là A₁ => A₁ xanh

                        B         A     B₁  => B₁ xanh

=> tam giác CA₁B₁ thỏa mãn đề bài

nếu thay đa giác đều này = đa giác đều có cạnh lẻ thì bài toán vẫn đúng, c/m tương tự như trên

x+1 $\vdots$ y => x+1 $\geqslant$ y                                        (1)

y+1 $\vdots$ x => y+1 $\geqslant$ x => y$\geqslant$ x-1        (2)

(1)(2) => x+1 $\geqslant$ y $\geqslant$ x-1

+) xét y= x+1 => x+2 $\vdots$ x => 2$\vdots$ x

=> x =1 thì y = 2

hoặc x=2 thì y=3

+) y=x 

=> x+1 $\vdots$ x => x=1 => y=1

+) y= x-1

=> x+1 $\vdots$ x-1 => 2$\vdots$ x-1 

=> x=2 thì y=1

hoặc x=3 thi y=2

áp dụng AM=GM$\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geqslant \frac{4}{a+3b+1+1+1}$

tương tự:

$\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}\geqslant \frac{4}{b+3c+1+1+1}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}\geqslant \frac{4}{c+3a+1+1+1}$

AD Cauchy Schwarz cho 3 cái trên => đpcm

tìm a,b là số hữu tỉ để:

$\frac{3}{a+b\sqrt{3}}-\frac{2}{a-b\sqrt{3}}=7-\sqrt{2013}$

tìm p,q nguyên tố sao cho:

p² -pq +2q² và 2p² + pq + q² là 2 số nguyên tố cùng nhau

$\frac{a^{2}}{a+b}+ \frac{a+b}{4}$ $\geqslant a$$\geqslant a$

tương tự $\frac{b^{2}}{b+c}+ \frac{b+c}{4}\geqslant b$

$\frac{c^{2}}{a+c}+ \frac{a+c}{4}\geqslant c$

cộng lại, trừ đi => ra $\frac{c^{2}}{a+c}+ \frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geqslant \frac{1}{2}$

bạn tự vẽ hình

gọi E là trung điểm BC

      F là trung điểm AD

     AB cắt CD tại K

theo bổ đề hình thang $\Rightarrow$ K,E,F thẳng hàng 

từ E kẻ EN // AB

$\Rightarrow$ ABEN là hình bình hành

$\Rightarrow$ BE=AN ; góc A = góc ENF ( đồng vị)  (1)

góc A + góc D = 90 độ

$\Rightarrow$ góc AKD = 90   

$\Rightarrow$ tam giác AKD vuông  tại K có đường trung tuyến KF

$\Rightarrow$ góc A = góc AKF   (2)

NE// AB ( cách vẽ) $\Rightarrow$ góc AKF = góc NEF    (3)

(1)(2)(3) $\Rightarrow$ góc ENF = góc NEF

$\Rightarrow$ tam giác ENF cân 

$\Rightarrow$ FN= FE       (4)

FN = FA - NA

     =  FA - BE

     = $\frac{AD-BC}{2}$   (5)

(4) VÀ (5) suy ra đpcm

phương trình tương đương

( x² + 8x + 12)( x² + 7x +12) = 420x²

đặt x² + 7,5x + 12 = k

phương trình $\Leftrightarrow$  k² - 0,25x² = 420x²

$\Leftrightarrow$  k² = 420,25x²

$\Leftrightarrow$  th1: k= 20,5x

suy ra:  x² + 7,5x + 12 = 20,5x

$\Leftrightarrow$  x=1 hoặc x=12

k= -20,5x

$\Leftrightarrow$  x² + 7,5x + 12= -20,5x

$\Leftrightarrow$ x=$-14+2\sqrt{46}$  hoặc x= $-14-2\sqrt{46}$

2) phương trình tương đương 

$\sqrt{3x^{2}-7x+3}$ - $\sqrt{3x^{2}-5x-1}$ = $\sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

giả sử vế trái $\geqslant 0$

suy ra 3x² - 7x +3 $\geqslant$ 3x² - 5x - 1

suy ra 2$\geqslant$ x  (1)

vế trái $\geqslant$ => VP $\geqslant$ 0

=>x² - 2 $\geqslant$ x² - 3x +4 

=> x $\geqslant$ 2   (2)

(1)(2) => x=2

tìm nghiệm nguyên:

x² + 3y² = x( 3y + 1)

Đặt $\sqrt[4]{x-1}=a$

       $\sqrt[4]{x+1}=b$

suy ra phương trình có dạng:

         $a^{2}+\frac{b^{2}}{2}=\frac{3ab}{2}$

$\Leftrightarrow$  $2a^{2}+b^{2}-3ab=0$

$\Leftrightarrow$ ( a-b)( 2a - b) =0

th1: a=b

$\Leftrightarrow$ $\sqrt[4]{x-1}=\sqrt[4]{x+1}$ ( loại)

th2 2a = b

$\Leftrightarrow$ $2\sqrt[4]{x-1}=\sqrt[4]{x+1}$

$\Leftrightarrow$ x = $\frac{17}{15}$ ( chọn)

giải pt nghiệm nguyên $x^2+y^2+z^2=xyz$

áp dụng BĐT côsi cho 3 số

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$

dấu = khi và chỉ khi x=y=z

x² + y² +z² = xyz

$xyz\geqslant 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$

$\Leftrightarrow$ $\frac{x^{3}y^{3}z^{3}}{27}\geqslant (xyz)^{2}$

dấu = khi x=y=z suy ra:

$\frac{x^{3}y^{3}z^{3}}{27}- (xyz)^{2}=0$

giải pt ta đc:

x = y = z =0             ( chọn)

hoặc x = y =z = 3    ( chọn)

$26+15\sqrt{3}=3\sqrt{3}+12\sqrt{3}+18+8$  

                       = $(2+\sqrt{3})^{3}$

tương tự $26-15\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^{3}$

suy ra A= 2 +2 + $\sqrt{3}-\sqrt{3}$$\sqrt{3}-\sqrt{3}$

             = 4

vậy A = 4

phương trình có dạng:

$\sqrt{2(x+1)(x+3)}+\sqrt{(x-1)(x+1)}-2(x+1)=0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+1}(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1})=0$

$\Leftrightarrow$ th1: x = -1 ( thỏa mãn đkxđ)

                            th2 $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1}=0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2x+3}=2\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$

$\Leftrightarrow$ $2x+6=5x+3-4\sqrt{x^{2}-1}$

$\Leftrightarrow$ $3(x-1)-4\sqrt{(x-1)(x+1)}=0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x-1}(3\sqrt{x-1}-4\sqrt{x+1})=0$

$\Leftrightarrow$ th1: x=1 ( thỏa mãn đkxđ)

                            th2: x= $x= \frac{-25}{7}$ ( ko thỏa mãn)

vậy tập nghiệm của phương trình là S={ 1;-1}

$x+\frac{1}{x}=k$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=k^{3}-3k$

$\Rightarrow$ phương trình có dạng

$\Leftrightarrow$$4k^{3}-12k-14k=0

$\Leftrightarrow$ 4k³ - 26x = 0

$\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 0;$\frac{\sqrt{26}}{2}$; $\frac{-\sqrt{26}}{2}$}

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{2x+y+z}$ ( hệ quả của BĐT Cô-Si)

tương tự

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+2y+z}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+y+2z}$

$\Rightarrow$ $\frac{16}{2x+y+z}+\frac{16}{x+2y+z}+\frac{16}{x+y+2z}\leqslant 16$

$\Rightarrow đpcm$$\Rightarrow đpcm$

a)

 đặt;

a + b - c = x

b + c - a = y

c + a - b = z

$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$

                       b = $\frac{x+z}{2}$

                       c = $\frac{x+y}{2}$

$\Rightarrow$ ta cần chứng minh:

           $xyz \leqslant \frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}$

ta có $\sqrt{xy}\leqslant \frac{x+y}{2}$

          $\sqrt{yz}\leqslant \frac{y+z}{2}$

          $\sqrt{xz}\leqslant \frac{x+z}{2}$

Nhân vào $\Rightarrow$ ta có đpcm

b) Đặt

 b + c -a = x

a + c -b = y

a + b -c = z

$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$

                       b = $\frac{x+z}{2}$

                      c = $\frac{x+y}{2}$

$\Rightarrow$ ta cần chứng minh :

 $\frac{y+z}{2x}+\frac{x+y}{2z}+\frac{z+x}{2y}\geqslant 3$

$\Leftrightarrow \frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}+\frac{z+x}{y}\geqslant 6$

$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{z}+\frac{z+y+x}{y}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow (x+y+z).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant 9$

BĐT trên luôn đúng suy ra có điều phải chứng minh

$a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=1$ và a²⁰⁰⁸ + b²⁰⁰⁸ + c²⁰⁰⁸ = 1

Tính a²⁰⁰⁷ + b²⁰⁰⁷ + c²⁰⁰⁷ = ? 

phương trình có dạng:

$x^{4}+x^{3}+x^{2}-9x+6 = -1$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^{3}+2x^{2}+3x-6)= -1$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{2}+3x+6)=-1$

$\Leftrightarrow$ phương trình vô nghiệm

1) g)

x⁸ + x⁷ + 1

= x⁸ + x⁷ + x⁶ - x⁶ - x⁵ - x⁴ + x⁵ + x⁴ + x³ - x³ - x² - x + x² + x + 1

= (x⁸ + x⁷ + x⁶) - (x⁶ + x⁵ + x⁴) + (x⁵ + x⁴ + x³) - (x³ + x² + x) + (x² + x + 1)

= ( x² + x + 1)( x⁶ - x⁴ + x³ - x + 1)

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}} = k$   (1)

$\Leftrightarrow {6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}} = k^{2}$

$\Leftrightarrow {\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}} = k^{2}-6$   (2)

6 lặp đi lặp lại vô hạn lần

$\Leftrightarrow$ k = k² - 6

giải phương trình này ra ta có k = 3 hoặc k = -2

biểu thức này luôn > 0 $\Rightarrow$ k = -2 ( loại)

$\Rightarrow$ biểu thức này = 3