Lớp 9 học giải phương trình đa thức rồi à
Các bạn lớp 9 hiện tại học nhiều ghê anh ạ .
Bài V.
1) Cho $2024$ số nguyên dương $x_1,x_2,\dots,x_{2024}$ được viết thành một hàng ngang theo thứ tự đó, thỏa mãn $x_1=1$ và với mỗi $k\in\{,1,2,\dots,2024\}$, tổng của $k$ số liên tiếp bất kì trong hàng chia hết cho $x_k$. Chứng minh rằng $x_{2024}\le 2^{1012}-1$.
Với mỗi số nguyên $n$ đặt $X_n=x_1+x_2+\dots+x_n$, từ giả thiết dễ thấy
\[x_n\mid X_{n-1},\qquad x_{n+1}\equiv 1\pmod{x_n}.\tag{$\ast$}\]
Trước tiên ta sẽ nháp để xem các giá trị của dãy số như thế nào. Dễ thấy $x_2=1$ và $x_3\in \{1,2\}$, với hai trường hợp của $x_3$ thì ta sẽ tính các giá trị khác với mong muốn mỗi giá trị $x_n$ đạt giá trị lớn nhất, đồng thời thỏa mãn điều kiện $(\ast)$.
\[\begin{array}{c|cccccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\\hline x_n& 1& 1& \color{red}{2}& 1& 1& 2& 1& 3& 4& 1 \\ X_n& 1& 2& 4& 5& 6& 8& 9& 12& 16& \end{array}\qquad \begin{array}{c|cccccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\\hline x_n& 1& 1& \color{red}{1}& 3& 1& 7& 1& 15& 1& 31 \\ X_n& 1& 2& 3& 6& 7& 14& 15& 30& 31& \end{array}\]
Từ đây ta thấy rằng các giá trị của $x_{2n}$ lớn hơn khi $x_3=1$ và cũng phù hợp với yêu cầu chứng minh của đề bài . Cũng dựa vào bảng giá trị thì nghĩ đến việc quy nạp đồng thời
\[X_{2n}\le 2^{n+1}-2\qquad\text{và}\qquad x_{2n}\le 2^n-1.\]