Bài 4.
Giải
Phương trình (1) của hệ tương đương:
$x(x + y)\left [ (y + z) + z\right ] = \dfrac{1}{8}$
$\Rightarrow -xz(z - x) = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow 8xz(x - z) = 1$
Ta có phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$(x + y + z)^2 + xy + 2xz - z^2 = \dfrac{-3}{4}$
$\Leftrightarrow x(y + z) + xz - z^2 = \dfrac{-3}{4} \Rightarrow x^2 - xz + z^2 = \dfrac{3}{4}$
Đặt $x - z = a, xz = b$, ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}8ab = 1\\a^2 + b = \dfrac{3}{4}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b = \dfrac{1}{8a}\\8a^3 - 6a = - 1 \, (1)\end{matrix}\right.$
Phương trình (1) có 3 nghiệm: $a = \cos{\dfrac{2\pi}{9}}; a = \cos{\dfrac{4\pi}{9}}$ và $\cos{\dfrac{8\pi}{9}}$
Tìm được a, suy ra b. Từ đó tìm được x, z và y. Vì dài quá nên ngại làm quá