Bài toán 1: Tìm những cặp số nguyên dương $k,n$ thỏa:$C_{n}^{k}=\overline{kn}$

Bài toán 2:Một em bé leo lên bậc thang gồm 30 bậc.Em bé có thể bước lên 1 hoặc 2 hoặc 3 bậc.Hỏi có bao nhiêu cách để em bé leo hết bậc thang đó.

(Khuyến khích các bạn mở rộng vấn đề ^^ )

Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$. Chứng minh rằng:

$a+b+c+d$ là hợp số

Từ giả thiết,ta được:

$3(a+b)^{2}+(a-b)^2=3(c+d)^2+(c-d)^2$

$\Leftrightarrow 3(a+b-c-d)(a+b+c+d)=(c-d+a-b)(c-d-a+b)$

Nếu $(a+b+c+d)=p$ thì $(c-d+a-b)\vdots p$ hoặc $(c-d-a+b)\vdots p$

Mà cả hai số trên đều nhỏ hơn $p$ nên một trong 2 số đó bằng $0$

Giả sử $a+c=b+d\Rightarrow a+b=c+d\Rightarrow a=d,b=c\Leftrightarrow a+b+c+d=2(a+b)$ là hợp số

Tương tự với trường hợp còn lại.

Vậy ...

Ta có:$y_{n}=\frac{x_{n-1}}{x_{n}}(1)$

Dễ thấy $y_{2}> y_{1}$.

Ta chứng minh $(y_{n})$ là dãy tăng.

Giả sử,mệnh đề trên đúng tới $n=k$ hay $y_{k+1}> y_{k}$.Giờ ta chứng minh $y_{k+2}> y_{k+1}$

Ta có $y_{k+1}> y_{k}> y_{k-1}> ...> y_{1}$

$x^{2}_{k+2}+y_{k+1}=x^{2}_{k+1}+y_{k}=2$

$\Rightarrow x_{k+2}<x_{k+1}< ...< x_{1}=1$

Ta có:$x^{2}_{k+1}+y_{k}=2\Leftrightarrow x^{2}_{k+2}y^{2}_{k+2}=2-y_{k}$

$y^{2}_{k+2}=\frac{x^{2}_{k+2}}{2-y_{k}}(2)$.

Ta cần chứng minh $y^{2}_{k+2}> y^{2}_{k+1}(3)$

Thay (2) và (1) lần lượt vào 2 vế của (3),ta được:

$2x^{2}_{k+1}>x^{3}_{k}x^{2}_{k+2}+x^{2}_{k+1}x_{k-1}$

Điều này luôn đúng vì $x_{k+2}< x_{k+1};x_{k},x_{k-1}<1$.

Vậy ta có điều phải chứng minh và ta suy luôn ra được $(x_{n})$ là dãy giảm

Ta có $(y_{n})$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $2$ ...

Ta có $(x_{n})$ là dãy giảm bị chặn trên bởi $0$ ...

cho a, b, c là các số nguyên dương thoả mãn:$ a(a^2+1-c)+b(b^2+1-c)=0$.

CMR: mọi ước lẻ của số $ab+c$ đều có dang $4k+1$

Đề sai rồi.Cho $a=5,b=7,c=40$ thì $a^{2}+b^2+1=75\equiv 0(mod3)$ ${\color{Red} 3=4.1-1}$

Bài toán :Cho $n,d\in Z^{+}$ thỏa $d|2n^{2}$.Chứng minh: $n^{2}+d$ không là số chính phương.

Bài toán:Cho $a,b\in Z$ và $a\neq b$ thỏa $a^{2}+b^{2}+ab|ab(a+b)$.Chứng minh $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì luôn tồn tại số $k$ sao cho $A=2^n.k+1$ là hợp số.

Xét $k_{0}$.Nếu $2^{n}k_{0}+1$ là hợp số (xong)

Nếu $2^{n}k_{0}+1=p$

Với $k> k_{0}$.Ta chỉ cần tìm được $k$ sao cho $2^{n}k+1\equiv 0(mod p)$ là xong

Khi đó $k\equiv k_{0} (mod p)$ và ta luôn tìm được số $k$ như thế.Vậy bài toán được chứng minh.

P/s:bài này sao sao ấy anh Nam @@

Chém bài dễ nhất vậy

Sao k ai giải bài 1 nhỉ.Mình giải k ra

 

Bài 2. (5 điểm)

 

Giải hệ $$\begin{cases} $\sqrt{(4^2+y^2)/2}+\sqrt{(4x^2+2xy+y^2)/3}=2x+y$ \\ x\sqrt{xy+5x+3}=2xy-5x-3 \end{cases}$$

Đặt $2x=a,y=b$,ta có:

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}=a+b$$

Ta có các đánh giá cơ bản sau:

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \frac{a+b}{2}$$

$$\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}\geq \frac{a+b}{2}$$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b\Leftrightarrow 2x=y$.Thay vào phương trình (2),...

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU (VÒNG 2) - 2013/2014 - 180 phút

 

Bài 1:(4 điểm)

Giải phương trình: $x=\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3x+2}+2}+2}$

 

Bài 5:(3 điểm)

Cho dãy $(u_n)$ thỏa: $\left\{\begin{matrix} u_1=1;u_2=3\\ u_{n+2}=3u_{n+1}+u_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: Với mọi $k \in \mathbb{N}^*$,tồn tại $n \in \mathbb{N}^*$ để $u_n$ chia hết cho $10^k$.

 

Câu 5 có vấn đề,khi k=2 thì k có n thỏa

Câu 1:

Đặt:$\sqrt[3]{3x+2}=a,\sqrt[3]{3a+2}=b\Rightarrow \sqrt[3]{3b+2}=x$

Hệ này khá quen thuộc,ta suy ra được $x=a=b$.Tới đây thì đơn giản rồi

Bài 1:Cho dãy số ${a_{n}}$ xác định bởi: $a_{1}=2,a_{2}=10$

$a_{n+2}=\frac{8a_{n+1}^{2}-a_{n+1}a_{n}}{a_{n+1}+a_{n}}$

     1) Chứng minh rằng dãy trên là dãy số nguyên.

      2)Tìm $\lim \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{a_{k+1}+a_{k}+3}$

1) thôi nhé @@

Tính được $a_{3}=65$

$$a_{n+2}=\frac{8a_{n+1}^{2}-a_{n+1}a_{n}}{a_{n+1}+a_{n}}$$

$$\Leftrightarrow a_{n+2}+a_{n+1}=\frac{9a_{n+1}^{2}}{a_{n+1}+a_{n}}$$ (1)

Tương tự,ta có:$\Leftrightarrow a_{n+1}+a_{n}=\frac{9a_{n}^{2}}{a_{n}+a_{n-1}}$

Mà từ (1),ta có:$\Leftrightarrow a_{n+1}+a_{n}=\frac{9a_{n+1}^{2}}{a_{n+1}+a_{n+2}}$

$$\Rightarrow \frac{9a_{n+1}^{2}}{a_{n+1}+a_{n+2}}=\frac{9a_{n}^{2}}{a_{n}+a_{n-1}}\Leftrightarrow a_{n+1}(a_{n}^{2}-a_{n+1}a_{n-1})=a_{n}(a_{n+1}^{2}-a_{n+2}a_{n})$$

$$\Leftrightarrow \frac{a_{n}^{2}-a_{n+1}a_{n-1}}{a_{n}}=\frac{a_{n+1}^{2}-a_{n+2}a_{n}}{a_{n+1}}=...=\frac{a_{2}^{2}-a_{3}a_{1}}{a_{2}}=-3$$

Ta cũng có:

$$\frac{a_{n}^{2}-a_{n+1}a_{n-1}}{a_{n}}=\frac{a_{n+1}^{2}-a_{n+2}a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}(a_{n+1}+a_{n-1})-a_{n}(a_{n+2}+a_{n})}{a_{n+1}-a_{n}}=-3$$

$$\Leftrightarrow a_{n+1}(a_{n+1}+a_{n-1}+3)=a_{n}(a_{n+2}+a_{n}+3)\Leftrightarrow \frac{a_{n+1}+a_{n-1}+3}{a_{n}}=\frac{a_{n+2}+a_{n}+3}{a_{n+1}}=...=\frac{a_{3}+a_{1}+3}{a_{2}}=7$$

$$a_{n+2}+a_{n}+3=7a_{n+1}\Leftrightarrow a_{n+2}=7a_{n+1}-a_{n}-3$$

Vậy dãy $(a_{n})$ nguyên.

 

Ngày 1: Ngày 24 tháng 9 năm 2013

Thời gian làm bài: 180 phút.

 

Bài 1.Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x^3+y+f(y))=2y+x^2f(x) \; \forall x,y \in \mathbb{R}$$

 

Mình làm thử nhé ^^

$x=0:f(y+f(y))=2y$ Suy ra $f$ là song ánh

$x=y=0:f(f(0))=0$

Do $f$ song ánh nên đặt $f(0)=a$

$x=y=a:f(a^{3}+a)=2a$

$x=0,y=a:f(a)=2a$

$\Rightarrow f(a^{3}+a)=f(a)\Rightarrow a^{3}+a=a\Rightarrow a=0$ hay $f(0)=0$

$y=0:f(x^{3})=x^{2}f(x)$

$\Rightarrow f(x^3+y+f(y))=2y+x^2f(x)=2y+f(x^{3})\Rightarrow f(x+y+f(y))=2y+f(x)$

$y=x:f(2x+f(x))=2x+f(x)$

Suy ra $f(x)=x$

Thử lại,ta thấy thỏa.Vậy $f(x)=x$ là hàm cần tìm.

cho hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thoả $f[f(m)+f(n)]=m+n$, \forall m,n\in \mathbb{N}^{*}$.

Đặt $f(m)=p,f(n)=q$

chứng minh rằng: 

a. $q=2p$

b. $f(n)=n.p, f(n.p)=n, \forall n\geq 4$

c. $f(n)=n, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$

mình k hiểu đề lắm,lúc đầu $m,n$ là ẩn,sao lại đặt $f(m)=p,f(n)=q$ được?

Bài toán 1:Cho $a,b,c>0$ thỏa  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.C/m:

$$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Bài toán 2:Cho $a,b,c>0$ thỏa  $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$.C/m:

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{1-a^{2}}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{1-b^{2}}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{1-c^{2}}}>2$$

Bài toán 3:Cho $a,b,c\in (0;1)$ thỏa  $ab+bc+ca=1$.C/m:

$$\frac{a}{1-a^{2}}+\frac{b}{1-b^{2}}+\frac{c}{1-c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

*Nếu $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2y+3}=\sqrt{2x+3y+4} & & \\ \sqrt{18x+19y+20}=\sqrt{21x+22y+23} & & \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow x+y+1=0$

 

Từ pt (1) của hệ suy ra:

             

 $2\sqrt{y+2}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{-77}{4} & \\ y=\frac{73}{4} & \end{matrix}\right.$

 

*Trường hợp ngược lại: $x+y+1\neq 0$     (*)

 

Trục căn ở tử suy ra : $\sqrt{x+2y+3}-\sqrt{2x+3y+4}-\sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}=0$ 

 

$\Rightarrow \sqrt{x+2y+3}+\sqrt{21x+22y+23}=0$ (Vô nghiệm do (*) )

 

Vậy hệ chỉ có nghiệm $ \left\{\begin{matrix}x=\frac{-77}{4} & \\ y=\frac{73}{4} & \end{matrix}\right.$

Nghiệm của bạn k thỏa pt 2,bạn xem lại nhé

Cho tam giác ABC và điểm P bất kì. Gọi D, E, F là trung điểm BC, CA, AB và lấy X, Y, Z đối xứng với D, E, F qua P. CMR: AX, BY, CZ đồng quy tại Q nào đó.

Gọi $Q$:$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{PQ}$

$\Rightarrow \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PQ}=-(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB})=-2\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PX}\Leftrightarrow \overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XQ}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A,X,K}$

Tương tự:$\Rightarrow \overrightarrow{B,Y,Q}$ ; $\overrightarrow{C,Z,Q}$

Suy ra đpcm.

Đây là đề thi chính thức:

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+ln(x^{2}-x+1)=y-x^{3}+3\\3y+ln(y^{2}-y+1)=z-y^{3}+3 \\3z+ln(z^{2}-z+1)=x-z^{3}+3 \end{matrix}\right.$.

Bài 2: Tìm tất cả các số hạng của một cấp số nhân có hữu hạn phần tử, biết rằng tổng các số hạng đó bằng 11, tổng các bình phương của các số hạng đó bằng 341 và tổng các lập phương của các số đó bằng 3641.

Bài 3: Tìn tất cả các hàm f: $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa $f(x+f(y))=f(x)-y,\forall x,y \in \mathbb{Z}$.

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi H là chân đường cao kẻ từ A và M là trung điểm của AH; D là điểm tiếp xúc của BC và (I). Đường thẳng DM cắt (I) tại N và cắt trung trực của BC tại P. Chứng minh rằng $\widehat{BNP}=\widehat{CNP}$.

Bài 5: Tìm tấ cả các số nguyên dương x, y sao cho $z=\frac{x^{3}+y^{3}-x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}}$ là một số nguyên không âm.

..........................

Dĩ nhiên là không xài máy tính...., đề này chưa cho tổ hợp thôi....(buồn quá!!!)

Đề Phương trình hàm cho sao ấy nhỉ @@

$x=0;f(f(y))=f(0)-y$ Dễ dàng suy ra $f$ là đơn ánh

$y=0;f(x+f(0))=f(x)\Rightarrow x+f(0)=x\Leftrightarrow f(0)=0$

Suy ra:$f(f(x))=-x$

Thay $x=f(x);f(-x)=-f(x)$

$y=f(y)$ vào pt đầu:$f(x-y)=f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$

Vậy:$f(x+f(y))=x+f(y)=f(x)-y$

Đến đây,ta lấy $x=y\neq 0$ để thấy được sự vô lý

(!!!)

Bài toán 1:Tìm tất cả các bộ 4 số có 3 chữ số thỏa mãn các điều kiện sau:

i)Cả 4 số đều khác nhau;

ii)Cà 4 số đều bắt đầu từ cùng một số;

iii)Tổng của 4 số chia hết cho 3 số trong chúng.

Bài toán 2:Tìm

a) $\gcd(C_{n}^{k},C_{n+1}^{k},...,C_{n+k}^{k})$

b) $\gcd(C_{2n}^{1},C_{2n}^{3},...,C_{2n}^{2n-1})$

ĐK : $x,y\geq 0$

Bình phương pt(2) liên tiếp 2 lần:

        $ \sqrt{xy}=5y-4x\Leftrightarrow 16x^{2}-41xy+25y^{2}=0$

        $\Leftrightarrow(x-y)(16x-25y)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-y=0(loại) & \\ 16x-25y=0 & \end{bmatrix}$

Thay $x=\frac{25y}{16}$ vào pt (1) được:

$y^{2}=256$ $\Rightarrow y=16\Rightarrow x=25$

Vậy hệ pt có 2 nghiệm $(x;y)$= $  (25;16) $

Sai rồi bạn,kết quả thay vào pt (2) k đúng.Mà bạn cũng chưa loại nghiệm âm

Bài này mình làm ra vô nghiệm,k biết đúng k ^^

Bài toán 1:Cho $a,b,c$ là 3 số dương và $a\geq b,c$.Tìm min:

$$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$$

Bài toán 2:Cho $a,b,c> 0$ là các hằng số và $x,y,z> 0$ là các biến sao cho:$ax+by+cz=xyz$.Tìm $minP=x+y+z$

 

 

Cái ảnh này của một mem trên diễn đàn (giấu tên):

 

 

 

 

Anh thích em rồi đấy 

Cho $x,y,z$ là các số dương thoả mãn $x+y+z=1$.Chứng minh

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.

Cách khác nhé:

$\sum \frac{x}{x+yz}= \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{\sum x(1-x)}{\prod (x+y)}= \frac{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{\prod (x+y)}$

Ta cần chứng minh:

$$\frac{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{\prod (x+y)}\leq \frac{9}{4}$$

$$\Leftrightarrow 4-4(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq 9\prod(x+y)$$

$$\Leftrightarrow 4+9xyz\leq 9(x+y+z)(xy+yz+zx)+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 4(x+y+z)^{2}+(xy+yz+zx)(x+y+z)= 4+(xy+yz+zx)(x+y+z)$$

$$\Leftrightarrow 9xyz\leq(xy+yz+zx)(x+y+z)$$ (điều này đúng theo $AM-GM$)

Ta có $\frac{x}{x+yz}=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq x(\frac{1}{4(x+y)}+\frac{1}{4(x+z)})\leq \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$

Thực hiện 3 bđt tương tự ta được đpcm.

Bài này ta đã sữ dụng bổ đề: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Cái chỗ bôi đó e chưa hiểu lắm ạ,chị giải thích hộ em với.

Dạng hàm này có lẽ là rất mới chưa thấy bao giờ

 

Xét $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$

Cho $x=0$ được $f(2f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$

Chứng minh $g(x)=0$ thì hơi khó

Mình tính đặt $g(x)=2f(x)$ hoặc $g(x)=f(2x)$ thì đều có $g(g(x))=g(x)+2x$ nhưng dùng dãy với cái này hơi khó   mọi người nêu thêm ý kiến để xử đẹp bài này

Ủ,làm sao biết $f(x)$ là đơn ánh vậy anh.Giải thích hộ em với

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

$f(2f(x))=f(x)+x$

Bài căng quá a à,e mới chứng minh được $f(0)=0$ là toát mồ hôi hột rồi.Rồi sau đó thì bịt hướng luôn.Em nói thử cách làm của e nhé.

Đặt: $f(0)=a,g(x)=f(x)-x(1)$

Ta có:$f(2f(x))=f(x)+x=g(x)+2x$

Thay $x=0$,ta được:$f(2a)=g(0)=f(0)=a$

Thay $x=2f(x)$ vào $(1)$ ,ta được:$g(2f(x))=x-f(x)=-g(x)(2)$

Thay $x=0$ vào $(2)$ ,ta được:$g(2a)=-a$

Thay $x=2a$ vào $(2)$ ,ta được:$g(2a)=-g(2a) \Leftrightarrow a=0$

Vậy $f(0)=g(0)=0$.

Dự đoán là $f(x)=x$ nên em cố gắng đi chứng minh $g(x)=0$ nhưng k còn hướng TT.TT

Lời giải.

....

Nếu đã có ý định biến đổi tương đương,sao em k làm ngay từ đầu luôn,sẽ nhẹ nhàng hơn đấy:

Tương đương:$\frac{2(a+b+1)}{4ab+2a+2b+1}\geq \frac{2}{ab+2}$

$\Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}+1\geq 3ab$ (đúng)

nên phép chứng minh hoàn tất.